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二次曲线与二次曲线交点问题

发表时间：2020/4/2 来源：《教育学文摘》2019年第9月17期作者：高国祥

[导读] 高考说明中明确指出："对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)"．

        摘要高考说明中明确指出："对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)"．但是，在解答某些问题时，难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意。
关键词二次曲线交点等价

        在高二的教学过程中，练习册中有这么一道学习延伸的例题，有许多学生看了解答都不能理解。例题是这样的：当实数ａ为何值时，

学生最不能理解的地方是方程组①与方程②解的个数情况是不一致的，也就是说方程②的解不一定是方程组①的解，方程②的一个解不一定是方程组①的一个解。估计是受之前学习的也是高中数学主要研究的问题：直线与二次曲线交点问题的思维定势的影响。在直线与二次曲线交点问题中，我们也是联立直线与二次曲线组，然后消元得到类似一元二次方程，再去讨论类似一元二次方程的解的

　方程组①的第二种情况和所对应的方程②的解的示意图

方程组①的解的情况和所对应的方程②的解的示意图

　
　方程组①的解的情况和所对应的方程②的解的示意图

        　方程组①的解的两种情况和所对应的方程②的解的示意图
        　由于方程中的参数对二次曲线相离、相切、相交这三种位置关系的连续性影响，所以此类问题也可以通过数形结合解决．首先求出相切时或是特殊位置的参数的值，然后根据图形变化与参数变化的对应规律，交点个数与参数范围的关系则由图可得
　　还有在高二的一次考试中，有一道题是这样子的：

上面的解法的错误是由于学生以为二次曲线与二次曲线相交问题与之前经常的直线与二次曲线相交问题是一样的，从而按照直线与二次曲线的方法去处理而导致的错误。
若要用联立圆与椭圆方程的方法，其实圆与椭圆的两个交点等价于方程组①有两组不同的解，而这两个解只是等价于方程③在（－2,2）内只有一个解即可，再用根的分布解决，令方程③的左边为f(x)