摘要: 数学概念反映的是现实世界中的空间形式和数量关系的本质属性。数学概念拥有以下几个特点：一是数学概念拥有强烈的抽象概括性。一个数学概念反映了一类事物的本质属性。这就决定了它的高度抽象概括性。二是数学概念拥有现实具体性。来源于生活又服务于生活。三是数学概念之间有着高度的逻辑联系性。数学概念教学是整个数学教学中的重要环节。正确地理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提。只有概念明确，才能判断准确，推理有据，只有深刻理解数学概念，才能提高解题的能力。因此，精致数学概念教学中的每个环节，是提高学生数学学习能力的关键。
关键词:精致数学概念；概念教学；学习能力
最近，听了一位初中数学老师的教研课，课题是人教版九年级数学《图形的旋转》，对执教者教学“旋转”概念的教法有些体会，与读者共享。
执教教师采用的教学流程是：引入概念→概念理解→探索性质→应用巩固，在引入概念过程中让学生经历概念的形成过程，在运用概念来探索性质及运用性质来解决问题中帮助学生理解概念、习得概念，这是常见的数学概念教学方法。但“概念是思维的基本单位”，数学概念是抽象之中的抽象，在日常教学中，以知识为本位，在学生未理解概念的时候匆匆运用概念，越俎代疱的现象仍很常见。因此，精致概念教学流程中的每个环节，帮助学生真正习得数学概念，提高学生的数学学习兴趣与信心，仍任重而道远。
一、精致数学概念的形成过程，培养学生的“数学化”意识与能力
“概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式”。笔者认为，让学生经历概念形成的每一个过程，应是本节课的教学策略。
1．让学生经历从实际问题到数学问题的数学化过程。
在概念形成的教学过程中，用相关的生活实际问题或数学问题来作为概念的引入，这是新课改后一种常见的形式。在把生活具体情景抽象出数学图形过程中，教师应发挥引导者的作用，让学生经历具体、抽象、概括的思维过程，理解、挖掘这些具体物体运动过程中共同、关键的属性：固定点、转动、方向、运动中的不变性，从而获得对概念的初步认知，进而把具体物体抽象成几何图形，形成图形化表示。本课里，教师提供了一组现实生活中旋转的情景，让学生观察、概括其运动的共同点，其目的就是让学生经历数学化的过程，把具体的物体运动抽象、概括成数学图形变换。但“数学化是学生的而不是教师活动，或者至少应该是学生的。自然界或社会中的一些问题情境的数学化不应该由教科书的作者或教师来示范说明，而应该留给学生去再创造”。
2．让学生经历从文字语言、图形语言到数学符号语言的数学化过程。
在得出几何图形运动后，引导学生用数学语言、符号来描述、解释这些共同属性：定点、旋转角、旋转方向、图形的不变性，这对学生来说又是一个抽象、概括的数学化过程。当然，在得出概念的规范表述后，还应让学生用自己的语言尝试解释概念，期间可结合具体的数学图形、符号来进行，对学生来说是一个从抽象到具体的过程，这又是一个数学化的过程。在这个过程中，教师可根据学生对概念的理解情况，结合具体的图形符号来对概念进行解释，以帮助学生加深对概念的正面理解。
需要注意的是，我们在运用具体图形来对概念进行解释时，应注意图形的代表性与一般性，以方便学生对原概念及其相关概念的理解。
二、通过变式教学，帮助学生领悟数学概念的内涵与外延。
任何概念都有内涵与外延。通过教师的讲解，学生也许能很快了解数学概念的内涵与外延，但正所谓“学的真谛在于悟”，要使学生能真正理解掌握概念，更需要学生的自主体会、感悟。运用变式教学，让学生自主解释现象，解决问题，感悟问题变式中概念本质属性的一致性，将有助于学生习得概念。
1．通过特殊化或一般化变式，帮助学生获得对概念的进一步理解。
在学生理解掌握一般位置图形旋转的基础上，还可给出几个问题，以帮助学生感悟旋转运动中旋转中心、旋转角、旋转方向等关键属性的变化，从而加深对旋转概念的理解。
2．通过探索由概念派生出来的性质，获得对概念的进一步理解。
数学中很多性质、结论都可由相关的数学概念派生出来，启发学生对这些性质、结论进行探究，将能帮助学生更好的把握概念的本质属性，更好的理解概念的内涵与外延。
对于旋转的性质，如：对应点到旋转中心的距离相等；所有对应点的旋转角都相等；旋转不改变图形的大小和形状，这些性质都可以由旋转的定义直接得到。
在由概念探究性质时，图形的代表性、直观性也是非常关键的。这样，可以避免因为图形所引起认知上的错觉而导致探究过程中出现了不必要的困难。更重要的是，还可以渗透研究几何图形性质的方向：图形的位置关系与数量关系，提高学生数学学习的能力。
3．通过提供适当的正例与反例，获得对概念的进一步理解。
日常教学中，我们发现，同一个问题，如果我们稍作变式，学生往往容易和其它相似的知识、概念相混淆，产生错误的判断。究其原因，笔者认为主要在于我们在进行概念的教学时，没有有意的进行概念变式，向学生提供合适的反例，引导学生类比相关的概念，帮助学生更好的把握概念的内涵与外延。如本节课所学习的旋转概念，它容易与前面学习过的平移的概念、轴对称的概念相混淆，因此在教学旋转的概念后，我们有必要提供一些平移、轴对称的例子，让学生观察、分析，从而获得对旋转概念的更好的理解。
三、帮助学生建立新概念和已有认知结构中相关概念的联系，形成概念体系。
“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”，帮助学生把新概念纳入已有的概念体系，启发学生运用已有的知识、认知策略、学习经验来理解新概念，从而掌握新概念的本质属性，这是概念教学所必不可少的环节。在学习旋转概念之前，学生已学习过平移、轴对称等概念，这三种图形变换都属于常见的全等变换，图形在运动过程中，都具有“形状与大小不变”的共同属性。如果我们在教学旋转的概念之后，能引导学生把它纳入到全等变换中去，那么学生对“旋转的不变性”便会有更深的认识，在解答具体问题时便能自觉的运用。
例、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④＝1＋；
⑤．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
如果学生能很好的理解“旋转不变性”，那么便容易观察到△ADP绕点A顺时针旋转90o后得到△ABE，这样便能找出这两个图形之间各个元素的位置与数量关系，实现已知与未知之间的相互转化，使问题得解。
四、在概念应用中要有意识地回到概念中去。
1．在解决具体问题中要有意识的回到概念中去。
根据笔者的日常观察，在进行概念应用的教学时，很多老师习惯于引导学生直接运用从概念派生出的性质或结论来探究问题，却忽视引导学生回到概念中去，这对学生习得概念是不利的。对于学生来说，面对具体问题时仍是难以联想起来并熟练运用的。特别是，学生在以后面临类似的问题时，仍尝试同时联想起概念及其性质，增加了解题的难度。如果教师能引导学生立足于概念，再回到概念中去，学生对图形的认识会更直观。
2．让学生举出自己的例子来说明概念。
“检验抽象概念是否已经被习得，最好的方法是让学生举出不同于概念学习过程中已经使用过的例证，而不是让学生背诵概念的字面定义”，在教学旋转的概念时，不仅需要老师提供正例、反例来帮助学生理解概念，更需要教师引导学生学会数学地观察生活，寻找学习过的数学知识，举出与旋转有关的自己的例子来。这不仅有利于学生习得数学概念，而且可以帮助培养学生“数学化”的能力。
当然，并不是所有的数学概念教学都得采用这样的教学程式，特别是，并不是所有数学概念都必须让学生经过从现实（或数学）情景中抽象概括出新概念的数学化过程，但帮助学生获得概念、理解概念、应用概念，在概念学习中学会数学思考，领悟数学认知策略，提高学习数学的能力，是我们数学概念教学所必须重视的。教学中我们切不可舍本求末，在学生没能很好理解掌握概念时便草草的完成概念的教学。因此，精致数学概念的教学过程，我们仍需认真研究。