摘要：数学归纳法是数学中的一个最基本的工具。数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题。本文主要从数学归纳法的定义、意义、解题类型，进而讨论以归纳法为主要工具去探索和发现数学问题的解题途径.
关键词：数学归纳法;类型;应用
引言
数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据。其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，他在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用.本文还介绍了不完全归纳法的一些应用.
1.数学归纳法
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。也就是证明与自然数n有关的命题的一种方法。必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n=0(如1，2等)时，命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确，以此推出当n=k+1时这个命题也正确。从而就可断定命题对于从n=0开始的所有自然数都成立.
用数学归纳法进行证明的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；
（2）（归纳递推）假设n=k时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；
（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立.
注：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；
（2）第二步中，在递推之前，n=k时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对n=的正确性可以传递到n=k时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题n=成立），就可以知道命题对 n=k也成立，进而再由第二步可知n=k+1也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，n=k时命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将n=k+1代入命题.
（3）递推结论是建立在归纳假设基础上的，因此不用归纳假设而证明第二步的方法实际上不是数学归纳法.
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所以当n=k+1时,命题也成立.
故由(i)、(ii)可知，命题成立.
错误的原因假设第二步的证明没有用到归纳假设.
2. 不完全归纳法
不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫做普通归纳法.
例如，求多边形内角和的公式时，先通过求四、五、六边形的内角和去寻找规律.从每个多边形的一个顶点引出所有的对角线，这样，四边形被分成2个三角形，五边形被分成3个三角形，六边形被分成4个三角形.由此，可以发现所分得的三角形的个数总比它的边数少2。而每个三角形的内角和是180°，因此，归纳出n边形的内角和为（n-2）×180°.这种归纳法是以一定数量的事实作基础，进行分析研究，找出规律.
但是，由于不完全归纳法是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论,
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，而是合数.
虽然不完全归纳法的结论有时可能不正确，但它仍是一种重要的推理方法.
3.归纳、猜想、证明
数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法.近年来，高考试题中已出现过这类题型，这类题型也是高考的热点之一，它对培养学生的创造性思维，具有很好的训练作用.这类题型是：第一步给出命题（与正整数有关）的结构；第二步要求学生计算出最初的三个至四个初始值；第三步要求学生通过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般性规律，做出科学的猜想和判断——敢于猜想，善于猜想；最后用数学归纳法对所作的猜想——一般性结论，做出完整科学的证明.
如：观察1，1+3，1+3+5，1+3+5+7的值；猜测1+3+5+…+（2n-1）的结果；用数学归纳法证明你的猜想.
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通过对数学归纳法原理的探究，可以培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神.让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学.学生通过置疑与探究，可以培养独立的人格与敢于创新精神.
4.应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.下面就用数学归纳法证明此不等式.
柯西（Cauchy）不等式
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本文通过对数学归纳法的讨论以及解题步骤,使我们对数学归纳法有了充分的了解和认识,还通过对近几年高考的题型分析和归纳法的应用,使我们对数学归纳法的解题过程有了更加深入的认知.
参考文献
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