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摘要：本章研究了圆弧钢拱在温度梯度荷载和均布径向载荷作用下的非线性屈曲。利用虚功原理和平截面假定推导了钢拱的非线性平衡方程以及弯矩与轴力的表达式。着重研究并讨论了梯度温度的变化对径向位移、轴向位移、轴向压力、弯矩的影响。
关键词：温度梯度；钢拱；研究
引言
随着现今社会的发展，钢结构拱因其具有跨越能力强等诸多优势，在国内外桥梁工程、水利工程、机械工程等领域都得到了广泛的应用。然而由于钢材的热膨胀系数较大，因而温度变化时温度变化产生的内力就比较大。因此，温度与外力荷载耦合作用下拱的屈曲研究就显得尤为必要。国内外部分学者也对在温度荷载下的拱的面内屈曲进行了大量的研究，Pi等［1-2］分析了两端固接与两端铰接的圆弧拱在梯度温度与均布径向荷载作用下的非线性面内屈曲问题。VIRGIN等［3］考虑了温度的影响，进行了小跨径浅拱实验，研究了拱顶集中力下浅拱的稳定性。蔡等人[4-5]研究了抛物线浅拱在集中荷载与均匀温度场作用下的面内稳定性。
1非线性平衡方程的推导
1.1梯度温度的定义
梯度温度分布下 和 沿截面厚度方向线型变化，如图1所示
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图1.1 作用在拱上的梯度温度示意图
在研究拱的几何关系首先引入如下基本假定：（1）仅分析拱的面内稳定性；（2）材料的物理方程满足胡克定理；（3）考虑结构变形的几何非线性影响。（4）温度沿截面厚度均匀变化。根据以上假定，任意截面高度 上的应变 为：
经过两次降阶求解微分方程（14），并把边界条件代入整理后得到径向均布力下圆弧拱的无量纲径向位移 关于无量纲荷载 的方程：
将径向位移的表达式（18）与轴向位移的表达式（19）分别代入（9）与（8）中便可得弯矩与轴力的表达式
2 数值分析
在本节中，研究了两端固接圆弧拱在径向均布荷载和温度变化 下的弯矩与轴力的变化。数值分析中使用的材料特性为：截面底部的温度为20℃；材料温度为20℃时的弹性模量为 ；线膨胀系数为 ；截面形状为矩形； 为拱的矢高， 为拱的跨长，截面尺寸为 。
2.1 不同梯度温度下的位移
图2.1为拱在大小为 的均匀分布的径向荷载以及不同的梯度温度作用下的整个跨度的径向位移曲线与轴向位移曲线。如图1所示，无量纲径向位移 沿拱轴线对称分布，拱的无量纲轴向位移 沿拱轴线反对称分布。由于由温度产生的径向位移与弯矩与由径向均布荷载产生的径向位移位移方向相反。因此，无量纲径向位移 随着横截面的梯度温度的上升而减少，而随着截面梯度温度的增加，拱的左半部的无量纲轴向位移 减少，右半部分的无量纲轴向位移 增加。
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径向位移（a）
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轴向位移（b）
图2.1
2.2 不同梯度温度下的弯矩及轴力
由图2.2可以看出，弯矩沿整个拱对称分布，且随着梯度温度上升而减少。轴力在梯度温度场和均布径向荷载 的作用下，沿整个拱保持不变，由于由温度产生的弯矩与由径向均布荷载产生的弯矩方向相反，因此弯矩随着梯度温度的上升而下降
2.3 验证
为了验证在线性梯度温度场和均匀分布的径向荷载作用下拱的轴向力和弯矩的计算结果的有效性和准确性。采用分析结果比较的方案，用ANSYS模拟有限元结果。在有限元分析中，材料的截面属性以及拱的尺寸与理论计算所采用的属性完全相同，并且根据（2）中的弹性模量折减系数，在ansys中建立了弹性模量与温度的关系。
图2.3为拱在径向均布荷载为 与梯度温度 时，有限元计算结果与理论计算结果的对比图，从图中可知，径向位移与轴向位移的理论计算结果与有限元结果吻合，验证了该理论的准确性
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径向位移（a） 轴向位移（b）
图2.3
3 结论
本文从能量的变分原理出发，利用虚功原理推导出圆弧拱在径向均布荷载与梯度温度作用下的非线性平衡方程，推导出径向位移与轴向位移的表达式，以及弯矩与轴力关于位移的表达式，得到了以下结论：（1）在荷载不变的情况下，拱的径向位移随着会随着横截面的梯度温度的上升而减少，而随着截面梯度温度的上升，拱的左半部的轴向位移减少，右半部分的轴向位移增加。（2）拱的弯矩随着梯度温度的上升而下降，而轴力随着温度的上升而上升。
参考文献：
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[4]J.G.Cai，Y.X.Xu，J.Feng，J.Zhang，Effects of temperature variations on the in-plane stability of steel arch bridges，J. Bridge Eng. 17（2012）232–240.
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