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追本溯源——谈自然对数的教学

发表时间：2020/4/16 来源：《中小学教育》2020年4月2期作者：方琴

[导读] 本文对高中数学重要概念对数的发明历史和自然对数的底数e的发现过程进行梳理，给出了相关内容的背景知识，贯穿自然对数的产生过程，同时介绍了国外教材中自然对数的引入过程，可作为学生学习和教师教学的参考材料。

方琴浙江省宁波华茂外国语学校高中部 315192
【摘要】本文对高中数学重要概念对数的发明历史和自然对数的底数e的发现过程进行梳理，给出了相关内容的背景知识，贯穿自然对数的产生过程，同时介绍了国外教材中自然对数的引入过程，可作为学生学习和教师教学的参考材料。
【关键词】自然对数；数学家；欧拉；超越数
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2020）04-045-01

        对数是普通高中数学中的重要数学概念，人教A版数学必修1教材中对自然对数的描述为：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln N。在实际教学中，学生对于自然对数感到抽象，理解大多局限在数学运算，本文将对e的产生背景和实际应用进行介绍，以加深学生对对数概念的理解。
        1对数的发明
        17世纪，随着天文学和航海计算的发展，以及银行业务和商务活动的日益增加，简化天文、航海、金融方面所遇到的复杂数值计算显得愈发重要，人们希望将乘除法转化为更为简单的加减法，1614年苏格兰贵族数学家纳皮尔发明了对数，1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》与自然对数很接近，纳皮尔的朋友、伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯在1624年编制了14位常用对数表，极大减轻了计算工作量。
        2自然对数的底数e的发现
        1683年瑞士数学家雅可布·贝努利开始研究银行的复利问题，他提出了“疯狂银行”模型：一家银行的对顾客的年利率为100%，顾客A存1元，一年后取出时会有1+100%=2元；顾客B存半年取出后再将本金和利息存入，一年后取出时会有(1+1/2)2=2.25元，顾客C存每一个月后取出再将本金和利息存入，一年后取出时会有(1+1/12)12≈2.61元，如果银行允许计算复利的周期为分钟、秒甚至毫秒、微秒……，仍然按照年利率100%，那么一年终取出时的本息和应该是，顾客会成为富翁吗?贝努利发现，这个极限值约等于2.718。1690年在德国数学家莱布尼兹与荷兰数学家惠更斯的通信中曾提到这个常数，当时他把它记作b，而不是e. 1727年瑞士数学家欧拉将对数为1的数记作e，也就是高等数学中的重要极限。
        不难发现，自然对数ln x的产生要早于e。在发明自然对数时，人们不知道ln x与e之间的关系。早在1661年，惠更斯清楚解释了等轴双曲线下的面积与对数之间的关系：，即自然对数是下介于t=1和t=x之间的面积。令人难以置信的是自然对数还和素数有关，1792年仅15岁的德国数学家高斯发现了素数分布定理：不超过自然数n的素数的个数约为，即从不大于n的自然数中随机抽到素数的概率约为。
        3国外教材中自然对数的引入过程
        国内外都是把指数放在相对较难的对数前面就行教材编排，实际上对数是纳皮尔在1614年发明的，而指数是法国数学家笛卡尔在1637年发明的，之间相隔23年，直到1770年，欧拉发现“对数来源于指数”，这不得不算是数学史上一件有趣的事情。
        英国教材中以对数函数公理化定义引入，ex的引入在ln x之后，而美国教材中先给出，再以指数式和对数式互化引入，ex的引入在ln x之前。

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        4“数学英雄”欧拉
        欧拉是与阿基米德、牛顿、高斯并称为“世界四大数学家”，是数学史上论文和著作最多的数学家，他56岁因大火双目失明且很多手稿化为灰烬，但是他依靠惊人的记忆能力背诵出了半数以上的著作。欧拉使用的函数符号f(x)、求和符号∑、自然对数的底数e和虚数单位i等符号沿用至今，1736年他研究的哥尼斯堡七桥问题是近代拓扑学的萌芽，1742年德国数学家哥德巴赫写给他的书信中提到的“哥德巴赫猜想”至今悬而未决，1743年他发现的二次互反律开启了数论的新领域——代数数论，1748年他发现了被称为“史上最完美的数学公式”——，将自然对数的底数e、虚数单位i、圆周率π、1和0联系起来，可谓“上帝创造的公式”。
        5相关知识扩展
        公元前500年，以“万物皆数”为信条的毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯发现了无理数，1737年欧拉用e的连分数展开式证明了e是无理数，1761年瑞士数学家兰伯特用类似的方法证明了π是无理数，随后数学家们将无理数分为代数数和超越数两类：若数满足一个有理系数代数方程，则叫做一个代数数，否则为超越数(因为欧拉说过：“它们超越了代数方法的能力”)。1844年法国数学家刘维尔证明了超越数的存在，1873年法国数学家埃尔米特证明了自然对数的底数e是超越数，1882年德国数学家林德曼证明了圆周率π是超越数。现如今尽管数学家们已经发现了大量的超越数，但仍然不能判断eπ和e+π到底是代数数还是超越数(但已证明至少有一个是超越数)，对于超越数的探索可谓任重道远。
        古希腊三大几何问题(三等分任意角、倍立方体和化圆为方)长期未能解决，直至1637年笛卡儿创立解析几何以后，几何问题可转化为代数问题，而三大几何问题就是分别求方程、和的根，1837年法国数学家旺泽尔证明了前两个问题均属尺规作图不能问题，1882年林德曼证明了π是超越数，进而证明了第三个问题也无法用尺规作图完成，彻底解决了困扰数学界两千多年的难题。
        考虑到本文的读者主要是中学教师和学生，所以省去了证明过程，最后将法国数学家拉普拉斯的三句名言送给读者：
        1、对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。
        2、读读欧拉吧，他是我们共同的老师。
        3、我们知道的东西是有限的，我们不知道的东西是无穷的。
参考文献：
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[2]刘绍学. 普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版[M]. 北京: 人民教育出版社,2007
[3]刘绍学. 普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版教师教学用书[M]. 北京: 人民教育出版社,2007
[4]Sophie Goldie. Cambridge International AS & A Level Mathematics Pure Mathematics 2 & 3[M]. London: Hodder Education an Hachette UK Company, 2018
[5]Robert Blitzer. College algebra[M]. Boston: Pearson Education,2018
[6]闵嗣鹤，严士健. 初等数论(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社,2003
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