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由一个数学游戏谈起

发表时间：2020/4/16 来源：《中小学教育》2020年4月1期作者：尚忠伟

[导读]

尚忠伟陕西省咸阳市礼泉县烽火九年制学校陕西咸阳 713203
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）04-167-02

凡是做过老师的人都知道：“兴趣是最好的老师”，而游戏是提高学生学习兴趣的有效方法之一，本文就给大家介绍一个数学游戏。该游戏名称为：“猜年龄”游戏。“猜年龄”游戏首先用到一个道具，该道具由6组数字组成(见下图）。

         图①
         1 3 5 7 9 11
         13 15 17 19 21 23
         37 39 41 43 45 47
         49 51 53 55 57 59
         61 63
         图②
         2 3 6 7 10 11
         14 15 18 19 22 23
         26 27 30 31 34 35
         38 39 42 43 46 47
         50 51 54 55 58 59
         62 63
         图③
         4 5 6 7 12 13
         14 15 20 21 22 23
         28 29 30 31 36 37
         38 39 44 45 46 47
         52 53 54 55 60 61
         62 63
         图④
         8 9 10 11 12 13
         14 15 24 25 26 27
         28 29 30 31 40 41
         42 43 44 45 46 47
         56 57 58 59 60 61
         62 63
         图⑤
         16 17 18 19 20 21
         22 23 24 25 26 27
         28 29 30 31 48 49
         50 51 52 53 54 55
         56 57 58 59 60 61
         62 63
         图⑥
         32 33 34 35 36 37
         38 39 40 41 42 43
         44 45 46 47 48 49
         50 51 52 53 54 55
         56 57 58 59 60 61
         62 63
         参加该游戏的人为两组，一组为甲方，一组为乙方。游戏的规则如下：
         乙方先将自己的年龄写在一张纸上，但不能让甲方看到；乙方可以是一个人，也可以是许多人。
         乙方在上述六个表格中寻找有自己年龄的表格，并把表格的代号告诉甲方。
         甲方根据乙方的代号就可以猜出一方的年龄。
         例如：乙说①号、②号、③号、④号、⑤号都有自己的年龄，这时甲说：你27岁；
         再例如：乙说④号，⑥号中有自己的年龄，这时甲立马说：你40岁。
         这时又有人会说：甲猜的对不对？
         我告诉大家：利用这个表格猜年龄，准确率百分之百，分毫不差。
         现在我们谈一谈这一组表格的秘密。
         我们先看第一个人的问题：①号，②号，④号，⑤号都有他的年龄，这个人为什么是27岁？其实秘密很简单，①号图谱的第一个数字为1；②号图谱的第二个数字为2；④号图谱的第一个数字为8；⑤号图谱的第一个数字为16。然后把这4个数字相加：即1+2+8+16＝27。
         故第一个人的年龄是27岁。
         按照同样的方法：④号图谱的第一个数字为8；⑥号图谱的第一个数字32；32+8＝40。故第二个人的年龄是40岁。
         写到此处这个“猜年龄”游戏的秘密，你明白了吗？
         以下我们来探索这个游戏的其他秘密。我们仍回到前面的那六张图谱。
         秘密《一》这6张图谱的第一个数字分别是：1、2、4、8、16、32，它们都是2的幂的形式。
         即：2o＝1，21＝2，22＝4，
             23＝8，2?=16, 2?=32
         秘密《二》结合游戏及秘密《一》，我们很容易得得到下面一组等式：
         63=2?+2?+23+22+21+2o
         42=2?+23+21
         39=2?+22+21+2o
         19=2?+21+2o
         32=2?
         16=2?
         8=23
         ……
         由此我们可以得到下面的结论：
         任何一个小于63的正整数我都可以写成2的幂的形式或2的不同次幂的和的形式。
         秘密《三》 2的幂与二进制，为了说明这个问题，我们列表对照表示。（图7）
         十进制二进制
         2? 100000
         2? 10000
         23 1000
         22 100
         21 10
         2o 1
         据此，我们可以得出下列的结论：将,2的幂的形式化成二进制时，最高为为1，后面0的个数等于2的次数。
         秘密《三》中的这个结论，如果你不好理解的话，我们另举一个例子说明.
         例如将29化成二进制的方法为：最高位为1，由于29的次数为9，故29化成二进制时为1后面9个0，即29化成二进制位1000000000；
         写到这里，综合上述三个秘密，我们很容易将一个不超过63的正整数化成二进制的一个数的形式。
         例一：将63化成二进制.
         方法：查开头的6个表格，其中①号，②号，④号，⑤号，⑥号都有63.
         故63=25+24+23+22+21+20.
         结合图⑦，63化成二进制为：
         100000+10000+1000+100+10+1=111111
         即63化成二进制为：111111；
         例二：将48化成二进制；
         解：查开头的6个表格，图⑤与图⑥中都有48；故48=25+24
         结合图⑦，48化成二进制为：
         100000+10000=110000
         故利用这个猜年龄游戏可以将不超过63的所有正整数都很容易化成二进制的形式.而如何将一个超过63的正整数化成二进制，利用本文的方法也是可以做到的，但限于篇幅，本文不在赘述。