摘要：毕达哥拉斯提出的初等数论在数学界中有着重要的地位，其主要包括对整数理论、不定方程和同余理论等项目。初等数论通常在大学本科开始正式教学，有规律的展开初等数论教育。在数学体系中，初等数论是很重要、很有趣的内容，用非常朴素的方式解读数本身的规律。在讨论中，得出数的奥妙和特征。中学数学竞赛中初等数论是必考问题，其用初等数论问题考察学生对于整数认知和对数的看法。学生如果对初等数论理解的身份透彻，那么解题将会变得非常简单，但如果理解浅显则会陷入很大麻烦。初等数论有着广泛的应用，中学数学竞赛前需要掌握初等数论，意义十分突出。
关键词：中学数学竞赛；初等数论；数学
前言：在数学中，初等数论主要用于解决与掌握整数关系，一般会用到反证法分析。众所周知给定正整数通常都可以写作带余除法。用带余除法与整除性质，证明归纳数学命题。比如a|b±a|±b，b|abc|ac,其中c 是任意非零整数。b|a,a≠0|b|≤|a|，b|a|＜|b|a=0。an-bn=（a=b)M1,n这些都是中学数学竞赛中常见的。此时可以用归纳法，用特例进行推导，得出一般结论。假设两个连续整数乘积最后能够让2整除，任意三个连续整数之积能够被3整除。比如在这道题目中，证明6可以整除n（2n+1)(n+1),n。第一眼看到这个题目，很多人都不知道怎么下手，如果能够了解初等数论命题思路，则可以很好的处理。证明的时候，可以把6写作2与3的乘积。这时候计算就会非常简单，n(2n+1)(n+1)=n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)，结合初等数论，2和3能够整除n(n+1)(n+2),n(n+1)(n-1)。
一、公因数和倍数
在看到这个问题的时候：某平面整点到直线y=5/3x+4/5，请问距离最小值多少。在解决这个问题的时候，首先要进行方程整理，将直线方程变成整系数方程，25x-15y+12=0.此时设定平面整点p(x0,y0)到直线距离是d=，按照初等数论公因式理论， x0,y0在任意整数情况下，25x0-15y0代表的是所有5倍数。因此d==,也就是说5k=-10情况下，d 有最小值。在数论中，相应理论就是，d为整数，ab是最大公约数，那么就有唯一确定整数m和n，此时d=am+bn。另外d所有倍数都可以写作ax+by，xy就是任意整数。
二、整除问题
在这道问题中，a b c是正整数，a+b+c=9求证a3+b3+c3≠100。解答这个问题的时候，可以先设a3+b3+c3=100，从给出的条件得到（a3+b3+c3）-（a+b+c）=91。因此（a3=a)+(b3-b)+(c3-c)=91,由于3|（a3-a),3|(b3-b),3|(c3-c)，所以3|（a3-a)+(b3-b)+(c3-c)，不过3无法整除91，得出假设为错误的，故a3+b3+c3≠100得证。
三、整点问题
如这个题目，假设M与T是固定常数，其中T比M小，为素数，对任意正整数n，与其原点O和点A,（n,n+T)连一起，线段OA用f(n)表示。
此外上除端点以外所有整点个数，这里所有的点坐标都是整数点统称整点。那么问f(1)+f(2)+...+f(M)为多少。
在解决这道题目的时候可以考虑到，线段OA的整点可以满足y=n+T/n×r，这里（0＜x＜n，n）随后可以从下面几个角度切入进行分析。
首先在n=Tk时，y=Tk+T/Tk×x=k+1/k×x（0＜x＜Tk，x）。因为不论是对上什么正整数k，都会出现（k,k+1)-1，因此在k|x的时候能够找到合适整点。也就是说x=k，x=2k...，x=(T-1)k则y，也就是f(Tk）=T-1。
其次在n=Tk+i，此时（1≤i≤T-1），此时y=Tk+i+T/Tk+i×x，结合最大公因式理论：（Tk+i，Tk+i+k）=（Tk+i,T)=（T，i)=1，如果x＜Tk+i则f(Tk+i)=0。
结合上述条件得出，f(1)+f(2)+...+f(M)=(T-1)({M/T}-1),则{M/T}意思是不超过M/T的正整数。在解决这个题目的时候，最关键的就是要按照模板T把n完全对照剩余类进行分类讨论，得出满足条件整点。
算数基本定理在初等数论中是非常重要的定理，任意一个超过1整数都能够化作若干质数乘积，是唯一数。采用算数基本定理能够直观的得出整数特征，能够处理和分析中学数学竞赛超过大数证明的式子。不论是什么超过1的整数，如果其正因数个数为奇数，则该奇数就是唯一标准分解式。所有质因数方幂加1乘积最后都是正因数个数。当然因为奇数和奇数乘积为奇数，所以最后的方幂是偶数，也就是说给定整数完全是平方数。初等数论定理在整数问题的解决中发挥着至关重要的作用。如在面对这个题目的时候，请写出连续的10个正整数，确保所有个数都是合数，该过程中要灵活应用算数定理。结果就是10！+2,11！+3,...11！+11.可以看出，只要融会贯通，其实非常简单。N个连续正整数，能够确保每个数都是合数。巧用算数定理，能够得出正因数个数以及所有正因数和性质命题。在中学数学竞赛的解题中，以上问题都是比较常见的，学生如果可以掌握，自然可以降低竞赛难度，提高解题效果。
结语：虽然数论的知识内容并不是很多，但用处却十分的广泛，现如今中学数学竞赛经常需要用数论知识，数论知识和密码学关联十分密切。本文简单梳理了整数可出行知识在中学数学竞赛中的使用思路。在数学竞赛中，数论命题和定理的作用十分的突出，能够为参赛者提供无限灵感，锻炼学生思维灵活度。设立广泛的数学竞赛需要参与者具备灵活思维，掌握初等数论知识，只有这样才能够在比赛中获得好成绩。
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