《面积的变化》一课是《比例》这一单元的延伸课，这一单元是从认识图形的放大与缩小开始学习，整个单元，我们都在研究对应边长的比。本课时，让学生自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比的应用价值，重在体验学习过程，提高学生的数学兴趣。这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这就要求问题的呈现一定要有利于展开观察、实验、操作、推理、交流等活动。问题是数学的心脏，也是数学的灵魂。每一个数学实验都是在问题的牵引下展开来的。
一、问题缘起，提出猜想
以长方形为例（如图1），哪个图形是原长方形放大后的图形？按什么比例放大的？
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（图1）
此题的设计对比教材，多添了一个正方形和一个长方形，由此回顾了图形的放大与缩小这一知识点。提问：它们的面积比是几比几。很自然地从边长的比，过渡到面积之比。先估计再计算。这时学生已经明白“长度比不等于面积比”。在交流验证的过程，可以鼓励学生从不同的角度进行思考。求出两个长方形的面积，计算比；把大长方形分隔成一个个的小长方形，长里面和宽里面分别可以分割出三个，就得到了9个和小长方形完全一样的长方形（如图2）。
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（图2）
引发思考：如果是其他平面图形按比例放大后，面积比又会是怎么样变化呢？虽然改变了教材中所呈现的内容，但更能聚焦问题，以此积累探究经验，为接下来的多角度探究规律提供范式。
二、数学实验，方法迁移
第一环节：自主探究深化认识
探究梯形和圆：
出示活动要求：
（1）小组合作，先量出梯形的上底、下底和高，圆的半径；
（2）记录图形放大前后对应边的数据和面积变化的数据，再算出放大前、后图形面积的比，并填表（如图3）；
（3）观察表格中的数据，在小组里说说自己的发现。
出示研究单（一）
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（图3）
设计时，在作业纸上出示了放大后和放大前的两种图。考虑到上课的时效性，选较为复杂的图来让学生测量数据，记录在表中。观察数据是否符合自己的猜想。考虑到研究对应比例是图形放大后与放大前的比，所以对于教材的表格做了调整，放大后的数据在左，放大后的数据在右，有利于数据的使用。
展开讨论：两个图形，对应边长放大前后，是怎样变化的，面积又是怎样变化的？联系数据，大胆猜想：图形对应边长的比是n:1，那么，放大后与放大前图形面积比会是多少？
这个环节是引导学生由长方形的研究推及至其他平面图形的研究，给学生经历了一次从“猜想”到“验证”的自主探究，这是科学认识的一般方法和思路。既满足了学生的学习心理，又使学生的探索和研究逐步走向深入。
第二环节：开放探究，提升认识
探究正方形和三角形：
根据前面的自主探究已经得到的一个猜想，接下来，把课堂交给学生，进行小组合作，验证把正方形、三角形按一定的比例放大，并画出放大前、后的图，记录相关数据，汇总到表中（如图4），验证是否与自己的猜想一致。
出示研究单（二）
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（图4）
寻找面积的变化规律，首先要对放大前、后的图形进行比较，还要准确测量所需数据并记录，认真观察、比较，才能发现规律。最后得出平面图形面积的变化规律的过程，不只是认识的提升，更是经历由一般到特殊的认识过程，是获得思维活动经验、提升学习能力的过程。
三、追本溯源，解释规律
学生提出的猜想，得到了一系列的实践的检验，但是一个结论的而得出还需要通过科学论证。以长方形为例，出图（如图4）
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（图4）
通过计算说明：
最后引导学生发现，通过积的变化规律，揭示其中的奥秘。
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（图5）
举完长方形的例子之后，引导学生自主挑选一个图形，用面积计算公式去验证，从而在理论层面上，再次证实自己的猜想。得出结论：一个因数扩大n倍，另一个因数也扩大n倍，积就扩大n2倍。
教师往往通过计算平面图形的图上面积和实际面积的比来找到变化的规律，对规律背后的本质问题，却常常只字不提。这样仅仅局限在找现象规律，而数学是对现象的本质分析和探索，用数学方法研究这种现象正是我们要做的。让学生探究现象背后的实质不仅能提高学习效率，还能举一反三，获得更大的思维发展。
四、引发联想，内化规律
再次激疑：根据刚刚的三次探究，发现了一些规律，如果给你大胆猜想的机会，你还会有哪些猜想呢？
有学生想到了想研究平面图形缩小的情况，立刻有学生提出，只要把图形的观察顺序反过来看就可以了，按1:n缩小，缩小后与缩小前图形的面积比就是1:n2。还有学生发现平行四边形还没有研究过，这是我故意留着的一个常见的图形，既可以对自己的研究结果再次论证，画图也是一个稍复杂的过程，可以好好复习图形的放大与缩小这一知识点。还有学生大胆地联想到如果对边按一定的比例放大后，立体图形的体积会是什么呢？
这个环节中，学生的大胆猜想，由“放大”想到了“缩小”，由“平面”想到了“立体”，思维的广度不断被扩展，学生将课堂上学习的方法迁移过来，课后继续进行研究，进一步拓展了研究的空间和时间。
展示部分学生的作品（如下图6）
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（图6）
探索规律并非是一个全新的教学内容，学生在学习加法运算律、积的变化规律、三角形的内角和等知识时早已经历过，教学的练习题和思考题中也有一些探究规律的素材，只是这部分内容没有得到持续关注，编排也较为零散。探索面积的变化规律是教材中相对独立的内容，使“探索规律”的重要性凸显出来，教学时应引起我们的高度重视。