【摘要】文本以新课标为指导，聚焦数学核心素养，对《数列的极限》这一内容分问题与情境、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个板块进行了教学设计。以学生思维发展为本，把握数学本质，强调知识的构建，注重数学活动的设计，鼓励交流与反思，融入数学文化，体现立德树人。
【关键词】数列极限；核心素养；数学文化
2017年年底，教育部印发了《普通高中数学课程标准》，在内容、结构和实施要求等方面都进行了改进和完成，首次确定普通高中数学学科核心素养，数学文化融入课堂教学内容。在新课标的指导下，高考也发生了一定转向，从追求知识技能的全面考察转向知识的迁移和概念的建构过程；从追求知识覆盖全面，题目结构完整转向目标指向开放，注重临场思考。这就要求教师认识数学核心素养本质，在课程教学实施中立足知识建构，发展核心素养，融入数学文化，体现立德树人。本文以《数列的极限》教学为例，探究新课标下的数学教学。
一、课程标准
通过对数列极限的学习，理解直观描述的数列极限的意义，进一步理解量变到质变的辩证法规律。
二、课程标准解析
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门学科”，而极限就是研究当数列的项数取到无穷大时，数列的项与某一个确定值的差的绝对值趋近于无穷小的一种数量关系。无穷小是数学微积分的基础，是从量变到质变的蜕变，是从一种从模糊认知猜想到具体数学定义的飞跃。因此对无限趋近的理解对今后学习高等数学有着重要的意义，本节课的学习从列表，画图等直观想象入手，帮助理解无限趋近这一新的数学概念，运用熟悉的数列，体会极限的含义。
三、教学目标
从经典数学悖论入手，结合实际生活，提出当数列的极限无限趋近一个确定的值时，是否可以看作两个值相等的问题，发展数学抽象和数学建模的核心素养。从特殊到一般，通过列表、画图理解直观描述的数列极限的意义，发展直观想象数学运算核心素养，用数列的通项公式来考察数列的极限；初步形成极限思想和变化过程的辩证认识。掌握三个常用极限，会用这些结论计算数列的极限，提升数学运算，逻辑推理核心素养。
四、重点难点
重点：数列极限的定义，从图像和定义两个方面理解无限趋近的概念。
难点：判断数列是否存在极限。
五、教学过程
（一）问题与情境
情境：芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向1米。就这样，乌龟会制造出无穷个点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
问题1 假设阿基里斯的速度为每秒10米，那么阿基里斯是否可以追上乌龟？如果可以追上乌龟，要经过多长时间？
问题2假设阿基里斯的速度为每秒10米，阿基里斯第一次到达乌龟的出发点用时是多少秒，第二次是多少秒，依次类推，这些数字构成了什么数列？他们的和是多少？
设计意图：根据生活经验跑得快的肯定可以追上跑得慢的，通过创设生活中的情景，让学生体会数学源于生活，激发探索问题，解决问题的欲望，发展数学建模核心素养。通过计算可以发现，第二问每次追逐用的时间构成一个无穷等比数列，当第二问中的次数取得越来越大时，时间的和越来越接近第一问的计算结果，初步体会无限趋近这一概念，提升数学抽象，逻辑推理数学核心素养。
（二）知识与技能
1.活动体验
【活动1】完成下列表格，并把点画在直角坐标平面上.
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【设计意图】直观感受当取无穷大时，项的变化规律，理解无限趋近这一概念，提升直观想象这一数学核心素养。
【活动2】观察上面的表格和图像，发现当无限增大，这些点与直线的距离如何变化？当无限增大，数列的项与0的大小关系如何变化？是不是所有的无穷等比数列都有上面的规律？
【设计意图】从量变到质变，从具体到抽象，总结出当无限增大时，与0的关系，体会无穷小的含义，提出极限这一概念，思考极限存在的条件，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养。
【活动3】人类认识自然的发展过程蕴含着丰富的数学文化，翻开历史画卷，一起探寻极限思想的起源、发展、完善。
（1）公元263年，我国古代杰出数学家刘徽在对《九章算术》作注释时提出，从一个圆的内接正六边形开始，每次将其边数倍增，依次求圆的内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……的面积。这就是“割圆术”的思想，思考当边数无限倍增下去，正多边形的面积和圆的面积有什么关系，圆的面积应该如何来计算？
（2）1821年法国数学家柯西在《分析教程第一篇——代数分析》中写到：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定的值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就成为所有其他值的极限。”填空，体会“无限趋近，要多小有多小这一概念”。
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【设计意图】利用数学史料，再现数列极限的发展过程，从刘徽对《九章算术》里“割圆术”的注解到柯西对无穷小概念的阐述，挖掘数学文化价值，沿着人类对极限的认知过程，从形象到抽象，从几何直观到符号语言论证，理解“无限趋近”的含义，提升了直观想象、逻辑推理、数学运算数学核心素养。
2.知识建构
（1）数列的极限：
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【设计意图】由于高中阶段对极限的学习要求比较低，所以高中阶段极限的定义只是用文字“无限趋近”来阐述极限的思想。利用函数图像，理解数列趋向极限的过程可有多种呈现形式：可能比小且无限趋近于；也可能比大且无限趋近于；也可能时而小于，时而大于，且无限趋近于. 所以在数列的定义中，可用的绝对值无限趋近于零来描述无限趋近于.
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【设计意图】从特殊到一般，借助列表画图，总结常用数列的极限，提升直观想象，逻辑推理，数学运算核心素养。
（三）思维与表达
【例1】判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限，如果没有极限，说明理由。
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【解析】（1）此数列没有极限，因为当无限增大时，也随之无限增大，不可能无限趋近于某一常数.
（2）此数列有极限，因为对于数列中的一切项，都有，所以.一般地，对于任何一个无穷的常数列的极限就是这个常数本身：.
（3）此数列没有极限，因为当无限增大时，永远在和之间摆动，不可能趋近于唯一的一个常数.
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【设计意图】运用数列极限的定义，考察的绝对值无限趋近于零，运用转化化归的数学思想方法，提升数学运算，逻辑推理数学核心素养。
（四）交流与反思
1、通过本节课的学习，你学到了什么？
（1）数列极限的定义，如何理解无限趋近？
（2）常用数列的极限有哪些？
2、在以前的数学学习和现实生活中，解决哪些问题用到了极限的思想？
【设计意图】通过概括小结，回顾反思，对整节课的知识结构有一个完整的认识，建构知识概念和方法应用网络体系，培养归纳概括能力，并对知识进行适当拓展，发展数学抽象，数学建模的核心素养。
六、评析通鉴
（一）注重数学问题发现过程，积累基本活动经验
数学知识是人类对自然事物的认知，是人类社会长久发展以来积累的宝贵经验财富，是人类解决问题的科学依据。把学生带入到问题情境当中，是产生学习主动性的催化剂。而对问题的探究活动产生的经验，则会对知识的理解产生巨大地推动作用。本文问题情境采用数学悖论——芝诺的追龟说，融入数学文化，提出极限思想，驱动学生的思维。通过对两个问题的计算，不难发现当趋近于无穷大时，两个问题求得的结果将无限靠近，是否无限趋近就意味着相等，提出本节课需要探究的问题。同时通过合理提问，帮助学生构建数学模型，体会到芝诺看似完美地解说，其实违背了现实生活的实际情况，把有限的时间进行了无限地分割，提出的问题是数学悖论和实际生活不符，激发了解决问题的兴趣。从分析问题，到数据计算，提升了数学建模，数学抽象，逻辑推理的数学核心素养，积累了解决问题的基本活动经验。
（二）注重数学思维发展过程，渗透研究问题方法
数学思维的发展过程往往是从直观到抽象，从特殊到一般，沿着数学家对极限探索的足迹，体会数列极限这一概念发生、发展、完善的过程。数学活动设计从一个特殊等比数列入手，运用直观枚举列表法，函数图像法，观察总结经验规律，发现变化过程。从较为直观的割圆术求解圆的面积入手，过渡到柯西提出无穷小的概念，用较为完善的数学符号表达无穷小，引导学生从量变到质变，体会极限思想。整个设计环节从容易到复杂，从特殊到一般，从直观到抽象，从猜想到证明。思考无穷等比数列和一些常见数列的极限存在的条件，总结求解极限的运算方法，通过观察图像提出“无限趋近”数列趋向极限的过程可有多种呈现形式，可以单项趋近，也可以双向趋近，体现的数学的严密性。在知识的构建工程中，提升数学抽象，数据分析，数学运算等核心素养。
（三）注重数学知识应用拓展，强调问题反思过程
应用拓展，是对知识转化的一种考察，通过应用加深对知识的理解，通过拓展，考察知识学习中的不足，拓宽知识应用地视野，把任务性学习转化为研究性学习。在例题1的设置过程中，根据数列极限概念，辨析数列是否存在极限，对数列极限存在的几个要素进行了考察：1.无穷数列；2.无限趋近同一个常数；3.趋近的形式可以是多样的。例2考察了如何用常用数列的极限，求解一般数列的极限，对问题进行转化化归，对求极限的方法进行了巩固，进一步加深对概念的理解，为后面极限地四则运算和无穷等比数列求和进行了铺垫。提升了直观想象、数学运算、逻辑推理数学核心素养。在交流反思过程中不仅对所学知识进行了梳理，也对问题的应用进行了拓展，会举一反三，用数学的眼光发现问题，用数学的思维探究问题，用数学的知识解决问题。
新课标下的数学教学设计，不再是传授数学知识解题技巧，而是紧紧围绕数学核心素养，注重情景创设，开展数学活动；注重逻辑推理，建构数学知识体系；注重知识应用拓展，指向数学思维。应用问题驱动，鼓励学生交流，启发独立思考，理解数学本质，体会数学思想，感悟数学文化，提升数学素养。
【参考文献】
[1]何志奇. 高中数学新课标案例解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2020.
[2]张莲. 极限数学中渗透数学史的几点做法. 高校理科研究[J]，2013（3）：141.