摘要：极限思想是一种重要的数学思想，是对数学知识的本质反映，是形象思维向抽象思维转化的纽带[1]。在学生学习数学知识的启蒙阶段对其渗透极限思想，不但可以提高学生的抽象思维能力，而且有助于学生掌握学习数学的思想和方法，使他们受益终生。本文主要阐述极限思想在小学数学教学中的渗透，并结合概念、数学公式、练习等教学案例，论述了极限思想在小学数学教学中渗透的途径及渗透过程中应注意的问题。
关键词：小学数学 极限思想 渗透
2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中，明确提出要把“数学思考”作为教学的总体目标之一，同时把“双基”拓展成“四基”[2]。其主要指的是基础性的知识、技能、数学思想以及活动经验。我们不难看出，无论是数学教育工作者，还是教育主管部门，都对数学思想方法在数学教学中的应用给于了很高的重视，也体现岀掌握数学思想方法对于教师提高教学质量、学生提高学习效率都有着十分重要和积极的意义。所以说，把最基本的数学知识教给学生并不是数学教学的全部目的。数学教学另外一个比较重要的目标，就是使学生建立健全灵活、系统的数学思想方法体系，使他们具备较强的数学思维能力。极限思想就是其中一种重要的数学基本思想。然而在小学阶段，极限思想带有一定的抽象性。综合考虑小学生的知识接受能力和理解能力，我们应该在教学活动中不断渗透极限思想，丰富课堂内容，提高学生的学习积极性，鼓励学生独立思考，培养学生的抽象思维能力，促进学生数学素质的全面提升。
1.极限思想的内涵
极限思想是数学基本思想的重要组成部分。在小学阶段，极限思想相对于其他基本思想更加抽象。小学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极限思想的逻辑性和抽象性都很强，学生不易理解。
极限可分为数列极限和函数极限，然而数列极限和函数极限的概念是非常抽象的，在小学数学教学中涉及不到。需要理解和渗透的只是极限思想。也就是说“无限≠极限”，但培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。受年龄特征的制约，小学生对极限思想不会有深刻的理解。但这并不等于教师在小学数学教学中就可以淡化对极限思想的渗透，相反应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，主要是让学生通过相关数学知识的学习，适度体会“无限”，进而感受“极限”。
2.极限思想在小学数学教学中的渗透
2.1把握极限思想的“生发点”，重视概念渗透
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节[3]。但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难以把握。所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。
现行小学教材中有许多内容注意渗透着了极限思想。在此以北师大版教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探析。
2.1.1数量无限多
第一,在数的认识这个知识模块中,就存在有限和无限的思想。
小学生从一年级开始就了解自然数0，1，2，3，┄同时也知道每个自然数增加1就等于后面的一个数。然后，进一步认识到亿以内的数,进而知道了0是最小自然数,而且没有最大的自然数，自然数个数是无限多个的。也就是说,当给定一个自然数为n，那么n+1就是紧随其后的数，让学生体会到自然数列的无限多和趋于无穷大。由此进一步认识到自然数中奇数和偶数的个数也是无限多个。
认识正数和负数时，教材以学生所熟知的温度计引出正数和负数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向无限减小。因此，正数与负数是数不完的，进而知道正数和负数有无限个，且不存在最大的正数和最小的负数。
在小数的认识教学过程中，以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50，1.06，16.85，┄这样的数，都是小数。”用省略号来表示其余的小数，由此可以知道小数的个数有无限多个，进一步学习发现小数有无数个与其等值的小数。接着围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333┄与9.4÷11=0.85454┄这两个算式引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多个的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。
在分数的认识教学过程中，以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用表示
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，其中的两份用表示
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┄知道分数的个数有无限多个，进一步学习发现分数有无限个与其等值的分数。
在因数和倍数的教学过程中，感受一个数的因数是有限的，但倍数是无限的，同样公因数是有限的，公倍数却是无限的。
以上这些知识,都蕴含着“无限”的思想，而这些思想常常都是建立在学生已有经验的基础上，学生并不难理解，如果能加之教师适时适当的引导，完全可以使学生体会和感悟到极限思想。
2.1.2图形无限延伸
第二，小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的两边、平行线等，它们都具有无限延伸的性质。
在线的认识教学过程中，教材以学生熟知的斑马线、聚光灯、铁轨引出对于线段、射线以及直线的认识。线段有两个端点，不能向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一段无限延伸；直线没有端点，可以向两端无限延伸。由线段到射线再到直线，知识之间层层递进，使学生从对有限的认识发展到对无限的感知。
在认识平行线的过程中，我们知道构成平行线必须要满足三个条件:(1)同一平面（2）两条直线（3）两条直线不相交。而直线具有向两端无限延伸的性质,因此平行线也可以无限延伸。
在教学角的认识过程中，通过介绍五种常见的角，让学生观察领悟角的特征，认识到角的两边是射线，而射线可以向一端无限延伸，感受角的两边无限延伸的特征，感悟极限思想。
2.2领会极限思想的“增长点”，抓住公式渗透
正是由于学生积累了这么多的无限思想。极限思想才有可能渗透到学生的数学思维中。因此，在教学过程中我们应该牢牢把握这些极限思想的增长点，帮助学生更好地从“无限”过渡到“极限”。比如以下两个教学案例中圆面积公式以及圆柱体积公式的推导，就是学生思维从“无限”走向“极限”的重要体现，是其感悟极限思想的不可或缺的增长点。
2.2.1圆面积公式的推导
【案例1】
师:谁来说一说下平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出的呢?
生:转化成学过的图形。
师:今天我们要就来学习圆的面积，那么怎样计算一个圆的面积呢?
生1:我把一个圆平均分成4份,剪成2个半圆重新拼接，可以得到一个不规则的图形。
生2:我把一个圆平均分成8份,剪成2个半圆重新拼组，有点像平行四边形。
生3:把一个圆平均分成16份,剪成2个半圆重新拼组,有点像长方形。
师:非常棒！如果老师把圆平均分成32份、64份,剪成2个半圆重新拼组,又会得到什么样图形呢?(课件演示)
生1:近似的长方形。
生2:平均分成64份拼成的图形比平均分成32份拼成的图更接近长方形。
师:请大家想象一下，如果老师继续把圆平均分成128，256，┄份时,拼组成的图形会怎样变化?
生:越来越接近长方形。
师:如果无限分下去,拼组成的图形会怎样?
生1:很像很像长方形。
生2:分成无限多份,长就变成直的了,就是一个长方形。
上述过程中从“等分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程,也即“化圆为方”的过程。学生只有接受了无限细分的思想，才能正确推导出圆的面积公式:.
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2.2.2圆柱体积公式的推导
【案例2】
师:请同学们回忆一下求圆面积计算公式的推导过程(学生讨论)
生:把一个圆平均分成若干个小扇形可以拼成一个近似的长方形,分成的份数越
多,越接近长方形。从而推导出圆面积计算公式。
师:大家说得很好,那我们能不能用类似的方法来解决圆柱的体积呢?就是能否把
圆柱转化成我们学过的一种立体图形来推导出它的体积计算公式?
师:大家想一想,圆柱可以转化成哪种立体图形?
生:长方体。
师:怎样转化呢?
生：把圆柱底面等分成16个小扇形，重新拼接得到一个近似于长方体的立体图
形。
师：如果把圆柱底面等分成32份，64份，128份┄呢？（课件演示）
学生讨论后,师生总结出：把圆柱的底面分成许多相等的扇形,然后把圆柱竖
直切开,并拼起来,就可以拼成近似的长方体。让学生明确，分成的份数越多，拼成的立体图形越接近于长方体。从而正确推导出圆柱体积计算公式：.
以上两个计算公式的推导过程，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思想。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态[4]。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
2.3捕捉极限思想的“突破点”，感悟练习渗透
利用极限切分改组后的圆形可以等同于一个长方形，推导出圆的面积公式，是因为例子带有直观性和客观性，学生可以充分利用形象思维理解知识，而遇到一些较抽象的问题时，学生则需在感性思维的基础上进行二次想象。教师可以设计“计算
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”这样的习题，引导学生在已有的表象储备上进行创造性想象，化抽象为具体，更好的理解极限思想，寻找问题的突破点。
【案例3】
师：仔细观察
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这个算式有什么特征？用什么方法求和？
生：相邻两分数，后一个分数总是前一个分数的一半。
生：通分求和
师：想一想还有其他的方法吗？
生：数形结合的方法
师生共同交流：先画一个大的正方形，其面积为1.先取其中的
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，再取剩下的
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，即整个面积的
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，一次不断地取下去，如图1所示，能够发现：
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师：结合上述活动，计算┄.
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师生共同交流：利用数形结合的方法，如图2。从图中可以直观地看出随着加数的不断增加，正方形内所取面积不断增大，并且逐渐接近正方形的面积，即不断逼近1。当有无限多项相加时，其结果为1。
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3.挖掘教材内涵，渗透极限思想
小学阶段的极限思想主要集中在“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。极限思想在教材中的渗透主要以三种形式呈现:(1)从“数量”上看“无限多”；（2)从“图形”上看“无限延伸”；(3）从方法上看“无限逼近”。教师在设计教学方案,进行课堂教学时,首先要让学生感知有限；其次在有限认识的基础之上帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限；最后在感受无限的过程中感知极限,从而感悟极限思想。主要包括以下三个方面：
第一，研究教材,充分挖掘蕴涵的极限思想。极限思想作为小学数学常见的数学思想藴含在小学数学的诸多知识领域中。在小学数学教学中,要让学生能够很好地感悟极限思想,教师首先要分析教材的脉络,硏究教学的内容。教师在进行教材分析时,既要关注一节课的基础知识、基本技能,也要带着“数学思想”的眼光,深入分析、挖掘出教材中蕴含的数学思想。同时,认真琢磨应该怎样结合教材内容,利用学生已有的经验进行极限思想的渗透。
第二,学情分析,为极限思想的渗透作铺垫。小学阶段的学生思维主要以具体形象思维为主,抽象思维逐步发展,但在理解抽象事物的时候仍要以具体形象做基础。小学生的认知特点使得他们更易理解具体形象的事物。思维发展停留在“有限”的认识阶段。而对于数量无限的、抽象的事物较难把握。因此教师在设计教学方案时,要充分把握学生的认知特点、知识基础和经验基础,为教学中极限思想的渗透奠定基础。
第三,整体规划,系统分析极限思想的脉络。极限思想在“数与代数”知识领域中,主要以“数”的形式,体现数量上的无限多。通过认识常见的数,知道数的个数有无限多个,感悟极限思想。在“图形认识”中,主要体现的是图形的无限延伸性。在“图形计算”中,运用无限逼近的方法推导出圆的面积公式、圆柱体积公式,进而从方法上感悟极限。教师在教学时要结合具体的教学内容,注重从“数量”、“图形”、“方法”的角度渗透极限思想。同时教师还应注重帮助学生梳理极限思想的脉络,适当归纳总结,让学生更好地感悟极限思想。
参考文献:
[1]于秋琳.浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透[J].考试周刊,2014,(29):73-74.
[2] 李海英.小学数学思想方法教学策略研究[D].河北师范大学，2015.
[3]杨忠标.引导小学生获取初步极限思想[J].新教师,2012,(4):49-50.
[4]杜晋云.从"推导圆面积公式"看极限思想的渗透[J].课程教材教学研究(小教研究),2010,(5):69.