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中学几何概念的定义方式及应用

发表时间：2020/5/13 来源：《现代中小学教育》2020年第3期作者：覃焕新

[导读] 本文就中学几何教材研究了几何概念的定义，并按定义方式进行了分类，通过实例说明了定义在运算、论证和推理中的应用。

广西柳州市西鹅中学覃焕新

摘要：本文就中学几何教材研究了几何概念的定义，并按定义方式进行了分类，通过实例说明了定义在运算、论证和推理中的应用。
关键词：概念、定义、方式、应用、几何
        数学概念在数学教学中有着至关重要的地位，它是打好数学基础，学好全部数学，必须理解掌握、运用的数学基础知识。而几何概念在数学学科中占有重要的地位。中学几何课本涉及了大量的概念，为了加强概念教学，深入了解这些概念的定义和应用是非常必要的。教师可以根据概念的定义方式在备课中设计切实可行的教学程序，在教学中培养学生分析问题和解决问题的能力。现从教材出发，就中学几何概念的定义方式及应用，谈些粗浅的看法。
        一、中学几何概念的定义方式
        中学几何中的一些原始概念，如点、直线、平面、空间等是不定义的，只用描述或解释的方法，或用实例加以说明。有些则既不定义也不描述，是作为常识来应用的。例如，同侧、异侧、延长、缩短等。除了这些原始概念外，其它概念都给了严格定义。为了了解概念的定义方式与类型，试着进行如下的划分。
        （一）内涵定义方式。概念的内涵就是概念所反映的对象的共同本质属性的总和。内涵定义方式即揭示被定义概念内涵的定义方式。通常使用类证法，即概念的定义=种差+类证。中学几何中绝大部分概念是采用这种方式定义的。现把其类型罗列如下。
        （1）属加种差定义。这种方式按逻辑思维的要求能完整、有效地揭示概念的内涵，为各门学科所常用，故又称为科学定义方式.初等几何中的大多数概念也就是用这种方式定义的，教学中应给予充足的重视。
        如果某一个概念从属于另一个概念，则后者叫做前者的属概念，而前者叫做后者的种概念。如“矩形”这个概念，就是“正方形”的属概念，“正方形”则是“矩形”的种概念。一个概念是属还是种，是相对而言的。如平行四边形对四边形而言是种，对矩形而言是属。一个概念的属可能有多个，其中外延较小的叫做这个概念邻近的属。如平行四边形和矩形都是正方形的属，其中矩形是正方形最邻近的属。
        一个概念与它的属概念中其他概念所含属性的差异叫做种差。例如，矩形作为平行四边形的种，其种差是“有一个角是直角”。
        所谓属加种差定义方式，就是通过揭示被定义概念的邻近的属概念和种差来下定义的方式，可以用公式表示为：被定义概念=种差+邻近的属
        一般地说，只有当一个概念的属概念存在并且已经定义（或是原始概念）时，这个概念才能用属加种差方式定义。
        （2）发生式定义（或称为构造式定义）。这种定义方式，是通过对概念发生、形成过程的描述给出的。如角的定义：
        “一条射线OA由原来的位置，绕它的端点O旋转到另一位置，这时，在起始位置的射线OA与终止位置的射线OB就形成了一个角。”
        又如圆的定义：
        “平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。”
        中学几何中这类定义还不少，如二次曲线中椭圆、双曲线、抛物线、立体几何中各种旋转体的定义都属于发生式定义。

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        （3）关系式定义。以事物之间的关系为本质属性的概念，可以用这种方式。
        （4）含有否定词的定义。即用否定的形式来揭示事物的本质属性。
        （二）揭示外延的定义方式。用概念外延的全体来定义这一概念，它是列举概念的全部外延，亦即指明这个概念外延所包含的全部事务。
        （三）约定式定义。约定式定义是对于某些给定的某些术语，采用规定（或约定）的方式赋予其特定的意义。例如，“倾斜角”概念中这样约定：“当直线与x轴平行时，其倾斜角为零”。
        二、中学几何概念的应用
        几何概念是几何学科的奠基石，在许多情形下合理运用定义可以巩固和深化概念，加深概念的内涵与外延的进一步理解。下面仅就个人的看法，谈谈定义在计算、论证和推理的运用。
        （一）由概念导出一系列的定理、法则。几何的任何对象都是以该对象的概念为出发点，进而探讨研究对象的判定和性质。所有定理、法则的逻辑推导都是以相关概念为基础的。例如，在平面几何中，首先给研究对象下一个定义，然后从定义出发，给出判定定理、性质定理及其推论。举一个具体的例子，如由平行四边形的定义可以得到下列两个真命题：“如果一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形。”“如果一个四边形是平行四边形，则它的两组对边分别平行。”第一个命题是一个判定定理，可以利用它判定一个四边形是否为平行四边形；第二个命题是一个性质定理，它揭示了平行四边形的一个性质。
        由概念产生的一系列判定定理和性质定理，是对概念认识的发展和深化，而这些定理的真实性也大都是直接利用定义作出判断的。上述的第一个命题就是用平行四边形的定义来证明的。
        （二）直接利用定义解题。任何一门学科，都是由一系列的概念组成的，所以概念既是最基础也是最重要的知识，如果我们在解题过程中能直接应用概念的定义解决问题，就能加深对概念的认识和理解。
        （三）灵活运用定义解题。
        对概念的理解不可能一次性完成，而是在运用中不断地深化、不断地提高，解题过程就是运用几何概念的过程，只有将各种概念相互结合、嫁接、渗透；只有掌握数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法，才能灵活地运用概念去解题。
        （1）用定义解计算、作图题。在一些计算、作图题中，利用几何定义，常可以减少计算量，找到作图捷径，从而避繁就简，思路清晰。
        （2）推理论证题。几何定义无论是在几何题还是代数题中都有广泛应用。用定义解代数证明题大多根据题目的特点，采用数形结合的方法,利用几何意义解题。
        评述，此题若按照常规方法解方程，两边平方并不能一次性去掉根号，运算起来也相当繁琐，这是利用椭圆定义使其得以巧解。
        总之，在几何概念的教学中，只要从教材和学生的实际出发，耐心地帮助学生掌握罗辑思维的“语言”，逐步提高他们的思维水平，扭转学习几何的被动局面，定能提高几何概念教学的效果，从而达到几何教学质量的目的。
参考文献：
1.圆锥曲线定义的应用王存祥载《湖南教学通讯》88年第6期
2.数学概念的属加种差定义法崔成文载《数学教师》85年第1期