摘要：用消元化简（简称“消化”）的方法，通过转化与化归数学思想进行导数背景下多元不等式的证明.数学是研究自然科学的重要工具，数学是训练学生思维逻辑的重要渠道.文章就通过五种“消化法”来解决导数背景下多元不等式的证明.真正做到帮学生梳理方法，寻找思路，强化重点，突破难点，尽可能消除大家对导数背景下多元不等式的证明的敬畏.
【关键词】高中，转化与化归，多元变量，压轴题，导数，不等式证明
近年来文理科试题的导数的证明逐步从单元走向双元甚至多元，很多同学望尘莫及，而在导数背景下的不等式证明往往都是压轴，此类试题不被考生“宠幸”.考生们做到这里往往力不从心，于是就形成了丢分的热点.
其实，在导数背景下多元不等式证明的过程中，可以体现出数学思想及素养的培养.数学思想方法是数学的核心，是联结各部分知识的纽带，掌握数学思想方法至关重要.数学思想方法包括：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想、特殊与一般思想.[1]数学思想不仅在学生形成良好认知结构的过程中起着桥梁作用，在将基础知识化为能力和既能的过程中也发挥着重要作用，它是培养学生数学思维意识和形成好的数学素质的关键所在.[2]而在导数背景下多元不等式的证明中转化与化归的数学思想体现的淋漓尽致.
伟大的数学家波利亚说过,"不断变换你的问题"。数学的解题过程正是如此,就是从未知向已知、从繁琐到简易、从多元向单元的化归转换过程,而这种转化也不断训练着做题者的逻辑，让做题者从题海中的乏味无趣走向“会当凌绝顶，一览众山小”，在数学的世界中感受到成功带来的乐趣，其实就是如此朴实无华.下面，笔者将通过五种方法介绍如何“消化”.
一、依次做主“消化”法
例1 （2016年全国高考题，理21）（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
分析：该题中涉及到两个变量，但传统的思考方式是以为主变元，但我们可以不断更换主变元，让另外一个变量扮演参数的角色，该题便会峰回路转，柳暗花明.
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接下来我们用类似的方法求出的最小值，（此处我们略写的最小值的过程，留给读者“照葫芦画瓢”），最后求同理可得，又因为0取不到，所以.
评注 在处理二元变量问题时，我们还可以把两个变量的地位或角色进行转换，将其中的一个变量看作主元，其他当作参数，从而逐一减少变量，进而解决问题.[4]
二、二元“消化”法
例2 已知函数有两个零点，证明:.
分析：遇到双变量的问题，我们希望能通过一个中介变量将二元变量消元化成一元变量，进而将二元不等式的证明转化成一元不等式证明.
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评注 本题中还可令，，进而进行消元也可，对于这种方法读者可以自行尝试完成。当然证明本题还可以构造对称函数或者用对数平均数来证明，方法很多，笔者就不一一罗列.
三、三元“消化”法
例3 已知函数.（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，证明：.
分析：遇到三元不等式的证明问题，我们希望先消化为二元不等式，进而将二元不等式的消化成一元不等式证明.
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四、构造“消化”法
例4 （西南大学附属中学高2020级第四次月考，文21）（3）证明：当时，.
分析：该不等式中有两个变量，经观察可得该式具有高度对称性，故我们将分别整理至不等式两边.
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五、放缩“消化”法
例5 （巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（五），文21题）已知函数（2）已知若不等式恒成立，求的最小值.
分析：求的最值，我们可以尝试确定一个元的范围，进而确定整体的最值。
解：等价于，令，，可得，则，可得，∵，令，不难得出，∴的最小值为.
评注 利用不等式的性质进行简单放缩可将多元变量转化成单元变量的不等式证明，但在操作的过程中需要注意变量的取值范围对不等式的影响.
其实，含有多元变量的不等式的证明问题，题型多，知识广，方法活，技巧强，笔者介绍的五种方法是比较常见，但题目题型千变万化，考题也常考常新，所以考生需从一个问题总结此类问题的解法，方能事半功倍，否则会出现“消化不良”哦！
参考文献：[1]宋乃庆，徐斌艳.数学课程导论[M].北京：北京师范大学出版社，2020:12-55.
[2]张惠淑. 高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[D].天津师范大学,2012.
[3]邓迎春,张晓飞. 例谈二元变量恒成立问题[J]. 中学数学研究(华南师范大学版),2015(13):32-34.