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高等数学在线开放课程中函数极值的教学设计

发表时间：2020/5/18 来源：《基础教育参考》2020年4月作者：宁艳艳樊颖军

[导读] 本文主要对函数极值这一部分内容从三方面进行微课设计，让学生学会分析问题，引出问题，总结问题，并能建立正确的世界观、人生观和价值观。

宁艳艳樊颖军陕西工业职业技术学院
【摘要】本文主要对函数极值这一部分内容从三方面进行微课设计，让学生学会分析问题，引出问题，总结问题，并能建立正确的世界观、人生观和价值观。
【关键词】函数极值；教学设计；微课
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2020）04-033-02

        微课主要以短小在线视频为表现形式，围绕某个知识点或教学环节开展的简短、完整的教学活动。在制作微课的过程中要注意以下问题：①视频要短而精，保证学习者注意力集中；②视频容量要小，便于观看和理解；③微课教学环节要完整。近年来，我国微课发展受到了教育部和各学校的高度重视，研究课程内容的微课设计是摆在每个教师面前的关键问题。如何在有限的时间内，把一个知识点以最优化、学生最容易接受的方式呈现出来，以实现教学效果的最大化，这是我们目前要研究的重点。
        数学内容本身比较抽象难以理解，对概念、定理、公式、应用等不同的问题，采用不同的教学设计。本文主要通过对导数应用中的函数极值进行微课设计，让学生从传统的学习方式中解脱出来，以最优的时间获取最大的收获。
        函数的极值主要设计三个短视频，每个视频围绕一个教学环节。
        一、问题的引入----用图说话
        转变传统的输入式的教学理念，开启引导启发式的教学方式，结合数学学科的特点，学会观察图形寻找规律。例如在设计函数极值的第一个短视频时，我们要求学生会观察图形，学会分析和总结。我们给出一函数曲线图形，让学生从各个角度去观察并分析。
        首先引导学生学会观察图形，当然在这里不局限学生观察的角度，可以发挥想象，把此条曲线可以当做爬山的过程，也可以当做学生时代求学的过程等等。接下来带领学生观察图形，从弯曲转折处，从高低起伏方面，从直线曲线变化程度，从弯曲方向，从单调性等等方面进行观察，然后把所观察到的结论记录下来：①这些点出发生转折；②，处达到一个小高峰；，处达到一个低谷；③，，的左领域都是单调递增，右邻域都是单调递减；，的左邻域都是单调递减，右邻域都是单调递增；④的左邻域和右邻域的单调性一致，都是单调递增；⑤处的函数值虽然达到了一个小高峰，但却小于这个波谷的函数值；⑥，虽然都是波峰，但是两处的函数值并不相等，同理，波谷处的函数值也并不一定相等；⑦这些点处的切线都是平行于x数轴，结合导数的几何意义，可知，这些点处的切斜斜率为0，也就是这些点处的导数为0。教师引导学生既会观察图形也会联系实际，把此过程如果当做是一个爬山的过程，山高低起伏不断，时而遇到波峰，时而出现波谷，一山望着那山高。同时，在爬山的过程中会选择休息地，而休息地的选择是我们的一个重要决定，既然是休息，那就要能起到放松的作用，所以联想到数学上所介绍的一个概念，驻点（用字面意思理解也就是稍微停留片刻的点），在数学上是一阶导数为0的点，即图中的都为函数的驻点。这样通过引导、发现、总结的方法让大家对这个图形建立概念，我们把此种方法称为“用图说话”法。

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        二、极值知识点的引入----归纳总结
        接下来进入第二个微课视频中，把上图观察到的规律尝试用数学语言描述，即引出极值的定义：若把一个函数的定义域按照某种规律进行划分（此处用驻点划分），若某点处的函数值是邻域里的最大值时，把此点称为一个极大值点，这点处的函数值称为极大值；反之，若某点处的函数值是邻域里的最小值时，把此点称为一个极小值点，这点处的函数值为极小值。极小值和极大值统称为极值。同时，根据图形也可以发现，一个函数的极值可能存在多个极大值和多个极小值，并且极大值不一定大于极小值。如图中的，为极大值点，这两点的函数值都是极大值；，为极小值点，这两点的函数值都是极小值，并且处的极小值大于处的极大值。但同时要注意到这一特殊的点，此点处的函数值既不是左右邻域里的最大值也不是最小值，因此不能成为极值点，但此处依然是一个驻点。进而进一步归纳总结给出极值的必要条件：若函数在某点处可导，且在此点能够取得极值，则这点也一定是它的驻点，这只是一个必要条件，也就是说，驻点处的函数不一定是极值，但极值点一定是驻点，图中的可以说明这一结论。紧接着我们把，，，这些极值点的规律进行归纳，给出极值存在的充分条件：若一极值点的左邻域为单调递增，右邻域为单调递减，那么此点就是它的极大值点，图中的，符合特征。反之，若一极值点的左邻域为单调递减，右邻域为单调递增，那么此点就是它的极小值点，图中的，符合特征。因为左右邻域的单调性是一致的，所以不符合极值存在的充分条件，所以再次说明不是极值点。最后归纳总结求解函数极值的方法和步骤：第一步：求函数的一阶导数，并求出驻点及不可导点；第二步：用驻点或不可导点把定义域划分区间；第三步：判断驻点左右邻域的单调性；第四步：求解极值。
        三、极值中的人文情怀----课程思政
        第三个视频，学习极值过程中实际案例及课程思政的引入。在实际生活中，你是否知道购买的可口可乐、雪碧等大饮料公司设计的易拉罐的半径与高之比是多少呢？利用你所学的知识分析一下这些公司为什么会选择这种比例呢？从企业角度分析，企业要考虑用最低的成本获得最大的利润，在设计易拉罐的时候，大饮料公司除过包装问题、运输问题要考虑之外，还要考虑在容积一定的情况下，所用材料最少，加工制作费最低，用来降低成本。再如，在实际问题中遇到求成本最低、效率最高、产量最大等问题，就是求解函数的最值，而要求解最值，先需要会求解函数的极值。再如，把人生的求学过程可以当作一条函数曲线的变化过程，每一次的大型考试（小升初、中考、高考）就相当于人生的一次转折点，这个转折点就如同曲线的驻点，一次的考试结果并不能代表成功与失败，而应该注意的是结果之后的态度问题，每个人的人生不可能是一帆风顺，也不可能是一落千丈，当出现驻点时，选择方向及态度很重要，失败一次不重要，及时扭转可以再次登上又一次的高峰。通过学习极值，让学生意识到人的一生在不同的阶段会出现波峰也有波谷，，一次的波峰不一定能说明你的最佳，一次的波谷也不代表你人生的最黑暗的时刻。事物都不是独立存在，而是相互作用，相互影响。驻点的存在是必然的，但问题是，面对驻点我们采取何种态度将会决定未来的变化趋势，人生起起伏伏，态度决定一切，我们需要克服中间态的阻力，走向人生一个又一个的高峰。
        好的教学设计可以更好的帮助学生理解所学知识，并能够让学生积极的参与到课堂中，学生结合自身特点能够更自主的根据需求选学，老师的探究能力也随着学生的学法在不断的提升，真正起到教学相长。
        作者简介
        宁艳艳（1981年-），理学硕士，副教授，研究方向应用数学。
        基金项目
        本文系陕西省职业技术教育学会2019研究课题项目名称：《高等数学精品在线开放课程建设及课程教学改革实践研究》。
        项目编号：SZJYB19—100。