摘要：怎样把“按份数”和“按每份的个数”的区别用最易懂的方式表示出来？学生对于“平均分”应该理解明白为什么“包含除”与”等分除”的情形都可以用除法加以表示。
关键词：平均分、包含除、等分除、逆运算
一、写在“读”之前的思考
“平均分的两种分法”一课，大家并不陌生，前些天我刚讲完，课堂上我沿用了教材提供的老路子，从森林联欢会中的学问入手，由学生动手分到认识“按份数”和“按每份的个数”等。这节课是除法这单元的重点，在讲授完本课后，总感觉没底气、缺少数学原有的味道。于是引发了我对以下几个问题的思考：
1.“按份数”和“按每份的个数”的区别是什么？
2.用什么方法把“按份数”和“按每份的个数”的区别用孩子们最易懂的方式表示出来？
因为是“事后诸葛亮”，可想而知学生对这两种平均分的理解虽然经过动手操作，但还是完全停留在我的主观讲授上。
二、由“问”追源，寻找书中的“颜如玉”
《数学课程标准（2011年版）》在“总体目标”中描述：“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。”在“课程内容” 的第一学段中提出：“经历与他人交流各自算法的过程。”“能运用数与及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义做出解释。”“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法。”
让学生经历知识的形成过程，建立表象，不过“经历”是要求很高的行为动词，那么对于“平均分”到底应该理解哪几点呢？带着疑问走进《小学数学教材中的大道理》一书，书中给我带来了很多的思想与解读解读：
1.等分除和包含除是一对“孪生兄弟”。
2.现在大部分版本的教材从“除法的认识”到“分数的初步认识”，两种除法的分布还算平衡，但从“平均分的进一步认识”到 “小数的初步认识”“小数除法”以及“分数除法”，所有教材一路走来，无一例外的“偏爱”等分除。
前些天在讲这部分知识的时候集体教研，几位老教师还说起以前的老教材这部分的重点会有包含除和等分除这两个名称，学生如果按这个概念去理解能相对容易些。这本书中张教授也提到了这个问题，问现在的小学生知不知道“包含除”这个术语? 学生能不能区分包含除和等分除呢?
查阅了一下资料，现在各版本的教材“表内除法”中“平均分”的教学出现了等分除和包含除的情形，但没有出现“包含除”和“等分除”的名称。教材指出“每份分得同样多，叫平均分”,强调让学生在具体的操作中感受分的方法的不同，能写出不同的算式，并说出其中一种平均分是求“有几份”，另一种平均分是求“每份是多少”，但没有要求学生明确区分这两种情形，更没有命名其中一种叫“包含除”，另一种叫“等分除”。在教学中，像谭老师、冬梅老师这样的老教师可能通常会讲得明确些,会在操作后通过对比、概括给出两种情形的名称;年轻教师可能就没有这么多的讲究了,操作、列式，仅此而已，这也是普遍存在的问题。
确实，我们都知道平均分的题目有两类,但对“一类叫等分除、另一类叫包含除”其实是不大清楚的。教学中我们也不要求学生知道这两种情形的名称。张教授提出“为什么不明确区分呢?” 张教授认为这二者应该明确地说出来，写进教师用书，甚至写入教材、目的是让学生完整地了解除法的数学模型。等分除和包含除是同一个数学模型的两个侧面的，这是一种长期起作用的思想方法，是一项基本功，也是“四基”的一部分。现在强调”教学建模”隶属于核心素养，认识“包含除”就是学习教学建模的一个方面，“包含除”它对解决问题非常重要，好的传统不要轻易丢掉。
教材虽然比较偏袒 “包含除”,但学生似乎还是与“等分除”更“情投意合”，觉得“等分除”才是“平均分”，张教授认为这是因为没有从数学建模的思想方法的高度认识“包含除”。
把12个苹果平均分成4份，每份几个？
12个苹果，每3个分一份，可以分几份？
将12个苹果平均分到盘子里的情境，即每个盘子里必须“一样多”，其数学模型是除法。但是有两种情形，情形一:知道有4个盘子，问每个盘子里有几个(等分除);情形二:知道每个盘子里要放3个，问能放几盘(包含除)。在日常生活中，这两种情形是不一样的。虽然最后都归于除法，但只有注意到“有几个”和“有几盘”的区别，除法模型才会建立得更加丰满。
三、由“读”闻“思”，寻找数学的“真思想”
书读百遍，其义自见。通过张教授的讲解，我认为可以有两种办法引入除法，并让学生明白为什么“包含除”与”等分除”的情形都可以用除法加以表示。
第一种:基本的想法是根据除法是乘法的逆运算来引入，
把12个苹果平均分成4份，每份几个？
要求学生列算式表示图中数量之间的关系，得算式4×(3)=12,算式中括号里就是要求的每份的块数。这时我们可以指出:通常情况下，我们列算式时总是把已知的放在等号的左边，未知(要求)的放在等号的右边，因此需要引进一种新的运算，这种运算叫除法，算式是12÷4=3,即积÷一个因数=另一个因数。
第二种方法，其基本的想法是要清楚其中的道理，既然乘法是同数连加的简便表示，那么除法就是同数连成的简便表示，
12个苹果，每人4个，可以分给几个人？每摆一份减少4块,列成减法算式是:12-4-4-4=0,减了3个4,所以可以分给3个人。就像同数连加我们用乘法来简便地表示，同数连减我们也引入一种简便表示,这种运算叫除法:12÷4=3,即总数÷相同减数=相同减数的个数。
通过这两种方法的引入，相信孩子们能更深入了解平均分的这两种分法，对“包含除”与”等分除”有了更深的认识。
明代思想家王阳明先生说过的一句话：知者行之始，行者知之成：圣学只一个功夫，知行不可分作两事。有读，有思考，有实践，在小学数学团队中，我们才能遇见最好的自己！
参考文献：《数学课程标准（2011年版）》
《小学数学教材中的大道理》张奠宙