摘 要：本文从2019年全国三卷理数第13题展开，通过一题一课形式，追本溯源，推广延展，探索平面向量的解题策略。以生本课堂理念呈现，旨在提高学生自主学习意识，学会思考。
关键词：一题一课 平面向量 解题策略 生本课堂
一、试题再现
已知，为单位向量，且，若，则= .
这是2019年新课标全国三卷理数第13题，考查平面向量的基本运算和解题方法，以及转化化归，数形结合等数学思想。
分析一：由问题出发要求，即按公式展开，将用已知的表示，需要求的模时，再次运用公式,带回问题，即可求出结果。
解法一：由已知可得，，
分析二：因为是由的数乘运算和加减运算所得，并且由可得特殊的位置关系——垂直，所以可以做出互相垂直的单位向量，通过向量数乘运算共线法则和三角形法则做出由合成的的示意图，在直角三角形中解三角形。
分析三：由，为单位向量，且垂直，想到建立平面直角坐标系，表示出，，的坐标，通过坐标运算来解决。
解法三：如图，分别以共起点的单位向量，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则，，则，，
二、归纳探源
1.知识点
平面向量的运算：
数乘：，数乘运算得到的仍然是一条向量，它与原向量共线，的正负决定着与原向量是同向还是反向；的数值决定着向量长度为原向量的多少倍。数乘运算产生了平面向量共线定理。
加减：，当，不共线时，可以作为平面向量的一组基底，平面内任一条向量都可以通过基底的线性运算表示出来。平面向量的数乘和加减运算产生了平面向量基本定理。
数量积：，平面向量的内积运算，它从定义一条向量在另一条向量上的投影的定义而引出。
投影的定义：设θ是，的夹角，则叫做向量在向量的方向上的投影。的几何意义等于||与在的方向上的投影的乘积。
2.平面向量解题方法
代数公式：解法一的整个过程都是通过平面向量数量积的定义公式转化表示夹角余弦公式，两平面向量加或减的模又可以用平方的公式展开。这种方法极易想到，但公式计算易错。
向量坐标化：解法二将抽象的向量，通过建系，将向量坐标化，用向量的坐标表示来进行运算，这种方法解题计算正确率高。
几何作图：解法三作出两基底，通过基本定理和三角形法则作出差向量，然后在直角三角形中通过边角关系解三角形。此法快速简单，来源根本，是源于作为一个几何图形的平面向量的作图运算，需要的基础知识是平面向量加减运算的三角形和平行四边形法则以及向量共线定理和基本定理。
三、运用推广
1.（2019年三卷13文）= .
分析：联想到向量数量积夹角余弦公式，并且是向量的坐标化运算。
2.（2013年Ⅱ，13）已知正方形ABCD的边长为2， E为CD的中点，则= _____.
分析：由正方形邻边垂直的特殊位置关系，可建立平面直角坐标系，利用向量坐标化解决。
3.(2017全国Ⅱ,4,)设非零向量,满足|+|=|-|,则( )
A.⊥ B.||=|| C.∥ D.||>||
分析：思路一：由向量模的平方等于向量的平方，得出，从而得垂直关系；思路二：等式的两边是以为邻边的平行四边的两条对角线的长度，由对角线相等的平行四边形是矩形可得垂直。
云南省昆明市“十三五”教育科研重点课题《新时代背景下十二年一贯制学校高效课堂教学模式的实践研究》研究成果，编号：ZZ18016