摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。
关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式
①连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。
②没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。
正文：
当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。
一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明
情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）：
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设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1.
情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）：
设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证.
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情形3. 平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）：
方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和:
A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1).
方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得:
A=(V-n)2π+(n-2)π…(2).
联立(1)、(2)得V-E+F=1.
情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）：
在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立.
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情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：
设其顶点数V=n，其中1个顶点与另外n-1个顶点连接，边数E=n-1，面数F=0，则有V-E+F=1.
上述问题中，与图中边（连线）的长短曲直和图形的形状没有关系.故把平面图形看作一张网，它的顶点数、边数和面（区域）数关系不会改变.
综上所述，平面上任何连通图都具有性质V-E+F=1.这就是平面图形的欧拉公式.
二、简单多面体的欧拉公式：V-E+F=2的证明.
证法一：不妨任取一个简单多面体(如图1)，假设它的表面是橡皮膜制成的.
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把简单多面体（图1）的底面DEFG去掉,留下它的边,象一顶帽子.把这帽子想象成兜起来的一张网,然后把它拉伸铺平,得到一个平面封闭图形(图2).这样做,并没有改变多面体的顶点数和棱数,只是减少了一个面.由平面图形的欧拉公式(1)得到V-E+(F-1)=1,即V-E+F=2.反之亦然.
证法二：设一个简单多面体的F个面分别为n1、n2、…、nF边形，则所有面角总和为：
A=∑α=（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=2Eπ-2Fπ…(1)；
再假定剪去简单多面体的一个面为n边形，其内角和为(n-2)π，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)π，边上的n个顶点处的内角和(n-2)π.所以，多面体所有各面的内角和为:
A=∑α=(n-2)π+(n-2)π+(V-n)2π=(n-2)2π+(V-n)2π=(V-2)2π…(2).
由(1)和(2)易得：V-E+F=2.
欧拉公式这一创新成果的取得是和观念、方法的创新密不可分的.欧拉在观念上的创新是“多面体的表面是用橡胶薄膜制作的”；方法上的创新是得益于“向它们内部充气”和“将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”。整个过程深刻揭示了两类图形的本质，即在连续变化的条件下不变的拓扑性质。
参考文献：
1.桂文通. "研究性学习：平面中的欧拉公式."?数学教育研究000.001(2006):P.43-45.
2.蔡菲菲, and 林大钧. "特征图形几何属性的应用与研究."?工程图学学报02(2003):134-139.
3.杨学枝. "平面几何中的欧拉公式和欧拉不等式."?数学通讯:教师阅读8(2014):40-41.