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高考中四次函数的常见解法

发表时间：2020/5/25 来源：《教育学文摘》2020年第4期作者：石长亮

[导读] 随着导数进入新教材，函数研究的范围随之扩大

        随着导数进入新教材，函数研究的范围随之扩大，解题方法随之增多，既三次函数成为命题新亮点后，四次函数在各地模拟题及高考题中频频出现，以四次函数为载体的试题，背景新颖独特，数形结合意识强，具有很强的选拔功能。下举几例与大家共解析。
        例1：设函数f (x) = x4 + ax3 + 2x2 + b（x∈R），其中a，b∈R.
   （1）当a =－时，讨论函数f (x)的单调性；
   （2）若函数f (x)仅在x = 0处有极值，求a的取值范围；
   （3）若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f (x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围。
   解：（1）f /(x) = 4x3 + 3ax2 + 4x = x(4x2 + 3ax + 4)
        　

，
　f /(x) = x(4x2 – 10 x + 4) = 2x(2x – 1)(x – 2)
　

   （3）由条件a∈[－2，2]可知△= 9a2 – 64 < 0，从而4x2 + 3ax + 4 > 0恒成立.
        　当x < 0时，f /(x) < 0；当x > 0时，f /(x) > 0.
        　因此函数f (x)在[－1，1]上的最大值是f (1)与f (－1)两者中的较大者.
        　为使对任意的a∈[－2，2]，不等式f (x)≤1在[－1，1]上恒成立，当且仅当

        　所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是（－∞，－4].
        　评注：四次函数的导函数是一个可分解的三次函数，据此可求根讨论其单调性即f /(x)的正负，有极值问题的讨论与三次函数类似。

   （1）求函数y = f (x)的单调区间；
   （2）若函数y = f (x)的图象与直线y = 1恰有两个交点，求a的取值范围。
        　解：（1）f /(x) = x3 + ax2 – 2a2x = x(x + 2a)(x – a)
        　令f /(x) = 0得x1 =－2a，x2 = 0，x3 = a
        　由a > 0，f /(x)在f /(x) = 0根的左右的符号如下表所示：

   （1）证明：－27 < c < 5；
        （2）若存在c，使函数f (x)在区间[a，a + 2]上单调递减，求a的取值范围.
        解：（1）因为函数

有三个极值点，所以f /(x) = x3 + 3x2 – 9x + c = 0有三个互异的实根。
        设g(x) = x3 + 3x2 – 9x + c，则g/(x) = 3x2 + 6x – 9 = 3(x + 3)(x – 1).
        当x <－3时，g/(x) > 0，g(x)在（－∞，－3）上为增函数，
        当－3 < x < 1时，g/(x) < 0，g(x)在（－3，1）上为减函数，
        当x > 1时，g/(x) > 0，g(x)在（1，+∞）上为增函数。
        所以函数g(x)在x =－3时取极大值，在x = 1时取极小值。
        当g(－3)≤0或g(1)≥0时，g(x) = 0最多只有两个不同实根。因为g(x) = 0有三个不同实根，所以g(－3) > 0，且g(1) < 0，即 –27+27+27+c>0，且1 + 3 – 9 + c < 0，解得c >－27，且c < 5.
        　故－27 < c < 5.
   （2）由（1）的证明可知，当－27 < c < 5时，f (x)有三个极值点，不妨设为x1，x2，x3（x1 < x2 < x3），则f /(x) = (x – x1) (x – x2) (x – x3). 所以f (x)的单调递减区间是（－∞，x1]，[x2，x3].
        　若f (x)在区间[a，a + 2]上单调递减，则[a，a + 2](－∞，x1]，或[a，a + 2][x2，x3].
        　若[a，a + 2](－∞，x1]，则a + 2≤x1. 由（1）知，x1 <―3，于是a <―5.
        　若[a，a + 2][x2，x3]，则a≥x2，且a + 2≤x3. 由（1）知，－3 < x2 < 1.
        　又f /(x) = x3 + 3x2 – 9x + c，当c =－27时，f /(x) = (x – 3) (x + 3)2；当c = 5时，f /(x) =
(x + 5) (x – 1)2.
        　因此，当―27 < c < 5时，1 < x3 < 3.
        　所以a >―3，且a + 2 < 3，即―3 < a < 1.
        　故a <―5，或―3 < a < 1.
        　反之，当a <―5，或―3 < a < 1时，总可找到c∈(―27，5)，使f (x)在区间[a，a + 2]上单调递减。
        　综上所述，a的取值范围是（―∞，－5）∪（－3，1）.
        　评注：对四次函数求导后，即可转化为三次方程根的问题，从而转化讨论三次函数的单调性与极值。

        　作出f (x)的示意图如图所示.
        　因关于x的方程f (2x) = m有三个不同实数解，
令2x = t（t > 0）.
        　即关于t的方程f (t) = m在t∈（0，+∞）上有
三个不同实数解，即y = f (t)的图象与直线y = m在
t∈（0，+∞）上有三个不同的交点。而y = f (t)的图
象与y = f (x)（x > 0）的图象一致。
        　