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反证法在数列中的应用

发表时间：2020/5/25 来源：《教育学文摘》2020年第4期作者：严燕燕

[导读] 本文以加拿大滑铁卢大学2018年数学竞赛题目为例，引出了数学思想反证法在数列证明题中应用

摘要：本文以加拿大滑铁卢大学2018年数学竞赛题目为例，引出了数学思想反证法在数列证明题中应用。反证法在数列问题中不是非常常用的方法，因此很难想到用反证法去做。对于证明数列中无穷多项满足条件的问题，用反正法证明可以将无限转化为有限，然后得出矛盾即可证明。但是像竞赛题中的（3）（ⅱ）并不是直接否定结论，而是需要对由结论可以推出的结论进行否定，这个大大加深了题目的难度。
关键词：数列，等差数列，最小正整数，反证法
一、引入：
数列是每年高考题的压轴题之一，下面这道滑铁卢数学竞赛的创新之处是对数列的项数进行了扩充，由原来的正整数扩充到了任意整数。证明两个数列各项相等用到了反证法，反证法在数列中的应用不是特别常见，但是对于证明数列中无穷多项满足条件的题目，用反证法是一种非常有效的方法。
例1、（2018年滑铁卢数学竞赛第10题）有两行无穷数列如下图所示，

对任意整数k，且Ak是Ak-1，Ak+1和Bk的平均值；同理Bk是Bk-1，Bk+1和Ak的平均值。
(1)若对任意整数k,Sk=Ak+Bk,证明Sk+1=2Sk-Sk-1对任意整数k都成立。

(2)假设数列中的每一项不是都相等。因为两组数列每一项都是正整数，因此肯定

二、主要结论：
对例题的条件进行适当的推广，可以得到结论：

三、数学思想方法
对于2018年滑铁卢数学竞赛最后两个小题，用到的数学思想方法都是反证法，而且多次利用反证法。结合国内的数列高考，在2013年北京高考题，也是用反证法进行证明。
例2、（2013年北京高考题第20题）设数列是由非负整数组成的无穷数列，设数列前n项的最大值为，第n项之后各项的最小值记为，。