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运用变式教学，提高课堂效率

发表时间：2020/5/26 来源：中小学教育》2020年5月3期作者：马旭花

[导读] 数学课堂的根本就是培养和发展学生的数学思维能力。初中数学课堂采用“变式教学”能培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性、创造性；能摆脱“题海”，变被动思维为主动思维，形成“趣学”“乐学”的氛围，培养良好的思维品质，进而提高教学效益。

马旭花浙江省台州市黄岩区新前中学
【摘要】数学课堂的根本就是培养和发展学生的数学思维能力。初中数学课堂采用“变式教学”能培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性、创造性；能摆脱“题海”，变被动思维为主动思维，形成“趣学”“乐学”的氛围，培养良好的思维品质，进而提高教学效益。
【关键词】变式教学；深刻性；灵活性；敏捷性；创造性
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）05-042-02

        变式教学是指教师在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性或变换事物的非本质特征以突出事物的本质特征，目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对事物形成科学概念。
        数学就其本质而言是一种思维，数学课堂的根本就是培养和发展学生的数学思维能力。全日制义务教育阶段的数学课程标准指出，数学教育的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展，目标在于培养学生会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科中的问题。要实现课程标准所设置的目标，必须关注学生思维的发展，加强学生数学思维能力的培养。开放性“变式”教学活动是培养学生思维能力的重要途经。因为开放性变式教育活动能让课堂活动成为学生主动建构思维的活动，能使学生真正成为学习的主人。初中数学课堂采用变式教学，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，产生主动参与学习的动力、兴趣和热情，进而提高学习效率。
        变式教学能揭示知识间的相互关系，培养思维的深刻性教学中适当地进行一题多变练习，能够引导学生充分认识数学知识结构，以及数学知识间的相互关系，形成正确的推理，从而培养思维的深刻性。
        案例1：在八年级上册第11章三角形的章节复习课时对人教版八年级数学作业本（2）第7页第10题作了改编：如图1，CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，求∠ECF的度数。
        图1
        图2
        图3
        当学生完成此题的解答后，教师首先指出：“此题属于三角形同一顶点处的内角平分线和外角平分线的夹角问题。”然后提问：“三角形内角或外角的平分线相交，还有其他的情形吗？”让学生带着问题去思考、画出图形，并引导学生归纳、总结，最后得到3种不同类型的图形（如图2～4）。设计了3道变式题：
        变式1：如图2，△ABC中，∠ABC的角平分线BP和∠ACB的外角平分线CP交于点P，试找出∠P和∠A的关系并证明。
        变式2：如图3，△ABC的角平分线BP和CP交于P，求∠P和∠A的关系并证明。
        变式3：如图4，△ABC的外角平分线BP和CP交于P，求∠P和∠A的关系并证明。
        图4
        从原题到变式1、变式2、变式3的过程，由于题设的改变，解题方法也相应的改变，结果则发生了改变，通过这样的练习，既加深了学生对三角形角平分线的认识与理解，又培养了思维的深刻性。
        变式教学能将复杂的问题简单化，培养思维的敏捷性。
        中学数学中很多复杂问题都含有一些基本图形，或者是基本图形的组合。提炼基本图形，将复杂问题简单化，以便抓住问题的本质，找到解决问题的突破口，提高思维的敏捷性。
        案例2、（人教版八下数学教科书）牧马人从A地出发，到一条笔直的河边MN饮马，然后到B地。牧马人到河边MN的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
        分析：作点A关于MN对称点A1,连接A1B交MN与点P，此时PA+PB最小。
        把此基本图形与等边三角形、正方形结合，变成如下问题：
        图5
        变式1、如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一动点P，使BP+PE的值最小,并求出这个最小值。
        变式2：如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点P是AC的动点，求PB+PE的最小值。
        变式3：如图，抛物线与x轴交A(1,0),B(－3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出△PAC的周长最小；若不存在，请说明理由。

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        图6
        图7
        图8
        此模型赋予它具体的背景，就可以用来解决一系列的问题：变式1把背景改为等边三角形，变式2把背景改为正方形，变式2把背景改为二次函数，此外，还可以将背景改为菱形、矩形、一次函数、反比例函数······，但解题的思路都是依据轴对称变换的性质和“两点之间，线段最短”，解题的思想是化曲为直。
        通过变式问题的条件，对原始题根进行再研究，寻求问题的增长点，从而达到做一题会一类、知一片的目的，引导学生解有方法，有解题原理模型支撑，能高瞻远瞩，会举一反三，从而提升学生的思维水平。
        变式教学源于学生的参与，培养学生思维的灵活性传统的教学中由教师独霸课堂，只能使学生埋没了个性和主见，埋没了兴趣和智慧。在课堂上要相信学生，因为学生是学习的主人，课堂应该是学生的天地，任何教学活动都应以学生为主体，只有学生的积极参与才能发挥课堂的最大效益，才能培养学生思维的灵活性。
        案例3：在九年级上册第21章一元二次方程的章节复习课时安排了这样一道习题：
        例：已知a2-4a=1，b2-4b=1,且a≠b,求a+b。
        面对这样的问题，要给学生思考的机会，让他们自主地探究，一定会有收获的。
        学生甲说可以用求根公式。分别解方程得：，。因为a≠b，所以当时，或当时，。可见不管怎样，a+b得值都是=4。
        学生乙说我用因式分解法能解答。由a2-4a=1，b2-4b=1。两式相减得a2-4a-(b2-4b)=0，变形得（a+b）（a-b）-4（a-b）=0，左边因式分解得（a-b）（a+b-4）=0，又a≠b，所以a+b-4=0，即a+b=4。
        第三位学生说我用韦达定理，即构造方程，利用根与系数关系求解。由整齐排列的两个式子：a2-4a=1，b2-4b=1，且a≠b，不难联想到其中得a，b就是一元二次方程x2-4x=1的两个不同的根，因此，根据韦达定理得两根之和为4，即a+b=4。
        新课标明确提出数学教学必须鼓励学生积极参与教学活动，更要有思维上的参与，通过各种方式激活思维，深化思维，不断地提高数学思维能力。
        四、变式教学能将特殊的问题一般化，培养思维的创造性
        数学中的很多问题，都具有典型性、探索性、普遍联系性的特点，在问题解决后对结论和解题方法进行反思，研究结论和解题方法是否具有一般性？是否可以拓展应用？这样不但可以凸现数学的本质特征，展示数学之美，还可以培养思维的创造性。
        案例4：在九年级上册学习一元二次方程的根与系数关系时，先给出如下一道例题。
        例：已知，，ab≠1，求代数式的值。这个例题有一定的难度，设计了以下几个变式题，让学生的思维得到缓冲，并螺旋上升：
        变式1：实数a、b满足方程，求代数式的值。
        变式2：与同时成立，且a≠b，求代数式的值。
        变式3：与同时成立，求代数式的值。
        变式4：与同时成立，且a，求代数式的值。
        变式5：与同时成立，且a，求代数式的值。
        通过变式，由浅入深，由易到难，符合学生的认知规律，吸引了学生的注意力，并引发他们的热情探究，在探究中发现了解题的规律，顺理成章并十分有效的解决了开头提出的那个有一定思维量的难题。
        著名的数学教育家波利亚曾说过“好问题如同蘑菇，它们都是成堆的生成，找到一个之后，你应当在周围找一找，很可能附近就要好几个”。总之，数学的魅力就在于“变”，但是“万变不离其宗”。恰当的变式，可以给学生的知识间架起一座桥梁，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡，进一步达到融会贯通。变式教学避免学生在低水平层次之间反复地重复，使学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性、创造性得到培养，同时也让学生的数学技能在变式练习中得到更好的发展。初中数学变式教学给广大师生带来诸多思考的乐趣，变被动思维为主动思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，，大大提高课堂教学效益。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M]北京师范大学出版社，2011.
[2]顾明远.教育大辞典[M]上海：上海教育出版社，1999.
[3]朱建良.变式指向本质，方法悟于过程[J].数学教学研究，2018（7）31-34.