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构建“三节棍体”模型解决立体几何问题

发表时间：2020/5/26 来源：《中小学教育》2020年5月3期作者：莫友娟

[导读]

莫友娟温岭市职业技术学校
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）05-111-02

        对于大多数高中学生来说，学习立体几何感觉比较困难，遇到一些几何问题往往无从下手，主要体现在空间思维能力不强及缺少相应的解题套路。中职数学中立体几何重点是对空间点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，高职考试中立体几何部分的试题也经常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间的线线关系、线面关系、面面关系的判断与证明，以及空间角、表面积、体积的计算。在平时教学中经常有学生对空间垂直的证明、空间角的计算、几何体外接球的表面积和体积计算等问题一筹莫展。若通过联想并构建三节棍体模型加以解决，则能够把复杂的问题归类化，形成一套行之有效的解题经验，从而达到事半功倍的效果。下面我从教学体会谈谈“三节棍体”模型及其应用。
        一、模型的溯源
        三节棍体：四个面都是直角三角形的三棱锥称之为三节棍体。如图1所示：
        其中△ABC、△PBC、△PAB、△PAC都是直角三角形，PA、ACBC两两垂直，即PA⊥AC，AC⊥BC，PA⊥BC它们首尾相接如同一条三节棍形成的几何体，因此把它称为“三节棍体”模型。
        图1                      图2                       图3
        1、来自实践操作：
        课外让学生动手切割长方体（立方体）的教具模型，通过观察发现如图2：长方体（立方体）ABCD-A1B1C1D1中沿两个平面A1AC和平面A1BC切割所得的四面体A1ABC就是三节棍体。
        2、来自教材资源：
        如图1：在RTΔABC中，∠ABC=90°，点P为ΔABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC。问：四面体PABC中有几个直角三角形？
        3、来自试卷考题
        （2018宁波三模）如图3，已知AB是圆O的直径，C是圆周上任意一点，直线PA⊥平面ABC，若AC=10，PA=AB=，求：
        （1）二面角P-BC-A的大小；（2）三棱锥A-PBC的体积。
        以上几种案例在课堂例题、课后习题、各类考试中都是热点，出现频率高。它们具有相同的特点，借助于此，让同学们仔细观察，认真思考，归纳总结。从图中可找出多组线线、线面、面面垂直关系，让学生充分认识这一特殊几何模型，熟练掌握它的结构特征。
        二、模型的特征
        “三节棍体”中的垂直关系：
        （1）异面直线垂直（一组）PA⊥BC
        （2）线面垂直（二组）PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB
        （3）面面垂直（三组）平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC
        此模型中涵盖了立体几何中点、线、面的多种位置关系，突出了“垂直”这个贯穿立体几何的主干知识点，是探究线线垂直、线面垂直、面面垂直和三种垂直关系间的相互转化的极好的载体，不但可以破解立体几何中千变万化的空间角，而且可以揭示立体几何的结构特征与本质规律。

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        图4                          图5                          图6
        三、模型的应用
        例题1、如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
        （1）平面PBC⊥平面AMN；（2）PB⊥MN。
        [思路分析]（1）由题意得三棱锥中PA⊥AC，PA⊥BC，AC⊥BC，所以此几何体就是三节棍体，易证得BC⊥平面PAC，又AN平面PCA，得BC⊥AN，又因为AN⊥PC，PC∩BC=C，由线面垂直判定定理可得AN⊥平面PBC，又AN平面AMN，由面面垂直判定定理即可得出平面PBC⊥平面AMN；（2）由AN⊥平面PBC得AN⊥PB，由已知AM⊥PB由线面垂直判定定理可得PB⊥平面AMN，从面得出PB⊥MN
        例题2、(2017杭州一模)如图5，在三棱锥S-ABC中，已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=2，，求：
        （1）侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小；（2）三棱锥S-ABC的体积
        [思路分析]由题意得三棱锥中SA⊥AC，SA⊥BC，AC⊥BC，所以此三棱锥就是三节棍体，易证得BC⊥平面SAC，所以SC⊥BC，AC⊥BC，即可得∠SCA就是所求二面角的平面角，又得SC=4，AC=2，所以所求二面角的大小为60°。
        例题3、（2018省第二次联考）如图6，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，BC=2，，二面角A-B1C1-A1的大小为60°，求
        （1）棱AA1的长；（2）点A1到平面AB1C1的距离。
        [思路分析]由题意直三棱柱中AB=3，BC=2，，得∠ACB=90°，得A1C1⊥B1C1，AA1⊥A1C，AA1⊥B1C1，因此几何体A-A1B1C1是三节棍体，易证得B1C1⊥平面AA1C1，所以AC1⊥B1C1，A1C1⊥B1C1，即得∠AC1A1为已知二面角的平面角为60°，所以AA1=C1A1tan60°=；（2）利用等体积法：求得距离。
        由例1、例2、例3可以看出三节棍体模型，其本质就是运用三垂线定理及其逆定理解题，而三垂线定理及其逆定理在立体几何中应用的十分广泛，特别是一些非正常位置下的三垂线定理及其逆定理的应用又是命题的一个热点，因此，该模型具有很强的实用性。
        例题4、在三棱锥A-BCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是。
        [思路分析]通过计算发现AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，此四面体是三节棍体，该几何体可以从长方体、立方体中得到的，因此，我们可将此四面体补形还原成长方体，而此长方体的外接球正好是所求四面体的外接球，这样问题就转化为典型的求长方体外接球的表面积问题，又因为外接球的直径就是长方体的对角线AD，所以外接球的表面积为
        变式：已知A、B、C、D是球O面上的四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积为         。
        [思路分析]由已知发现AD⊥BC，AB⊥BC，AD⊥AB，得到球面上的四点构成的四面体是三节棍体，因此，我们可将此四面体补形还原成立方体，而此立方体的外接球正好是已知的球O，这样问题就转化为我们所熟悉的求立方体外接球的体积问题，又因为外接球的直径就是立方体的对角线CD=3，所以球O的体积为
        例题5、如图7，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=BC，则异面直线PB与AC所成角的大小。
        [思路分析]由题意本题知三棱锥中PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，可知三棱锥P-ABC是三节棍体，因此可以将此三棱锥补形还原成立方体（如图8），这时异面直线PB与AC就转化为我们常见的立方体的两条面对角线所成角问题，只需将AC平移到PD处，再连接BD，就发现△PBD为正三角形。所以所求角为60°。
        图7                                     图8
        点评：巧妙利用三节棍体模型可以快速的解决空间角问题、外接球问题。
        此类几何体有着丰富的垂直关系，搞清楚这些基本特征，有助于培养学生的空间想象能力，揭示立体几何的基本结构。同时“补形”法体现了立体几何的本质规律各种问题来源，并转化为学生能够理解的思考策略，体现了构建模型解决立体几何问题的优越性。
        常言道：教无定法，教学有法。这需要我们不断在教学中探索，归纳总结，提炼方法帮助学生解决学习困难，我认为利用“构建三节棍体模型”能够很好地帮助学生找到解题突破口，提高解题效率。它不但提供了学生的思维起源，培养了学生的观察能力和空间想象能力，而且还能让学生从中发现数学美，体验数学美，进一步提高学生学习立体几何的兴趣。