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例谈高中数学解题中的几类“陷阱问题”

发表时间：2020/5/26 来源：《中小学教育》2020年5月3期作者：谢武辉

[导读] 高中阶段的数学题对于学生来说相对较难，而这些例题的难度不仅仅表现在复杂性方面，还表现在各种“陷阱”的引诱，学生常常由于审题不清、运算不严谨、知识掌握不深等各种原因而落入“圈套”。学生对于陷阱问题的解决能力不强也不仅仅因为知识的局限性，也可能在思维方法方面存在问题。本文主要阐述了几种类型的高中数学“陷阱问题”，并对其展开分析。

谢武辉广东省茂名市高州市第四中学广东茂名 525200
【摘要】高中阶段的数学题对于学生来说相对较难，而这些例题的难度不仅仅表现在复杂性方面，还表现在各种“陷阱”的引诱，学生常常由于审题不清、运算不严谨、知识掌握不深等各种原因而落入“圈套”。学生对于陷阱问题的解决能力不强也不仅仅因为知识的局限性，也可能在思维方法方面存在问题。本文主要阐述了几种类型的高中数学“陷阱问题”，并对其展开分析。
【关键词】高中数学；解题教学；陷阱问题
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）05-170-02

        引言：在高中阶段的数学命题时，命题者常常会考验学生的知识掌握能力，但近年来的大小考试中，对于学生的考查项目也不仅仅考查知识掌握能力，也将目光转移到了学生的审题能力和数学思维能力等方面上，因此各种陷阱问题也应运而生。学生在面对陷阱问题时，首先便需要看出问题中存在的陷阱，也就是误导性条件，从而明确正确的解题思路，保证运算结果的正确性。但实际上陷阱问题也成为了绝大多数学生的失分问题，而本文便针对这些陷阱问题进行分析。
        一、知识型陷阱问题
        知识型陷阱问题主要针对数学概念或公式等知识掌握、应用能力较差的学生而“量身定做”的陷阱，主要利用一些公式意义、运用条件相似的误导性元素来诱导学生出现错误，导致学生出现公式混用或概念忽视等现象，主要考查学生对于概念及公式知识的理解透彻性。
        例题一：
        已知函数的最小正周期是
        （1）求出的值
        （2）若将函数的图像各点横坐标缩短至原本的，纵坐标不变，得出函数的图像，那么求函数在区间的最小值
        面对该题时，主要的陷阱表现在要求中的和周期公式不同，而学生却往往会忽略这一点，在公式代错后导致求出的错误结果。而正确的解答过程为：
        通过化简得到，之后代入周期公式，从而结果能够得出；而之后通过三角函数进行图像变换，则能够得到，通过能够得到，因此，函数在中的最小值为1，而这时的值为0.
        二、针对学生思维定势设计的陷阱问题
        思维定势是学生长期经受传统教学模式，或学习方法不合理而在学习过程中形成的固态思维模式，在这一思维模式下，学生对于一种题型往往只会应用一种方法和一个公式进行解答，而当例题中出现陷阱时，这些学生往往难以招架。
        例题二：
        设4个数成正比数列，其乘积为16，中间相的和为5，那么求公比的值面对该题时，学生常常会在思维定势下将等差数列的解题方法应用于该题等比数列中。等差数列中如果出现四个数和为16，中间两项和为5，那么正确的解法为：
        设四个数为对于题型中连续四项的特点，可以设为，而这种方法只有在各个项之间为同号时才能应用，而不为同号时则需要设为。
        三、针对隐藏条件设计陷阱问题
        条件是解题所必备的元素，而很多题中都会有一些隐藏条件需要进行单独步骤的运算来求出，而对于这种题型来设计陷阱往往更难被学生察觉，学生不仅要发现其中的隐藏条件，或正确求出隐藏条件，那么则无法正确解答。

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        例题三：
        已知，那么求的最大值与最小值
        面对该题时，学生往往难以找出其中隐藏的范围条件，从而导致解题错误，如
        错题：
        通过条件得，将其代入得可以得到 =。
        在时，的最大值为；
        在时，有最小值，为。
        该题首先就要找出的范围条件，通过，得到，这样无法取到的值，而需要在时，才有最大值为，若，的最小取值为0.
        四、对解题不够严谨设计的陷阱问题
        高中数学的逻辑性相对来说更强，而这也需要学生在解题时具有较高的思维严谨性，才能保证解题过程中不会出现错漏现象。
        例题四：
        和圆（）2+相切同时在两坐标轴截距相同的直线有（）条
        A：2          B：4条          C：3条
        面对该题时，获得答案为A：2条的学生可能是将两坐标轴中截距相同理解成直线斜率为-1，从而没有考虑到直线通过原点的现象；获得答案为B：4条的学生可能考虑到了直线通过原点的现象，但却忽略了还有一条直线斜率为-1；答案C：3条为正确答案。
        在被陷阱影响的学生中，导致错误的产生看上去是由于没有同时考虑到两个现象，但实际上也表现出了学生的思维不够严谨，从而导致学生在解题时出现各种漏项或重项等问题。而这种陷阱问题的设计初衷便是考查学生的数学思维能力，运算准确性和思维严谨性，学生不仅要具备足够的知识能力，同时还需要养成深度思考的良好解题习惯。
        五、对学生审题不清设计的陷阱问题
        审题能够帮助学生明确题目中有用的条件，同时排除其中无用的条件，快速理清头绪找到正确的解题思路。但许多学生都会想要提高解题效率而没有认真审题，恰恰就是因为没有认真审题而出现各种错漏。而近些年针对学生审题不清而设计的陷阱问题更是层出不穷，学生在面对这类问题时往往由于审题不清而用错条件或忽略有用条件，导致错误。
        例题五：
        已知≥4，求的最小值。
        错题：
        ，由于，因此
        ∴
        ≥
        =1
        在面对该题时，在的情况下，取最小值也就是1。而若是=3不处于≥4区间的情况下，则无法取最小值1。所以需要将得在上单调递增，若的情况下，=4，取最小值为。
        对于审题不清的学生来说，在实际上在审题方面吃的亏并不少，但仍然只能做到吃一次亏长一智，却未能掌握避免吃亏的能力，而良好的审题习惯则能够帮助学生绕开陷阱，找到正确的解题思路。老师可以适当利用这些陷阱问题来激发学生的审题意识，让学生明确认真审题的重要性，从而在日常学习解题以及考试中能够养成良好的审题习惯，从而有效避免“落入陷阱”，并提高解题效率。
        结束语：高中数学题中的陷阱问题可以说层出不穷，除上述几种陷阱外还有许多陷阱类型，但不管哪种陷阱问题，只要学生具备足够的数学思维能力、良好的审题习惯、提高解题严谨性、提升思维灵活性都能够有效避免，而这也需要老师在日常教学中进行重点培养。实际上，高中数学陷阱问题不仅仅能让学生吃一堑长一智，还可以作为很好的教学素材，通过陷阱问题式教学能够有效提高学生思维灵活性，并掌握更加灵活的解题方法，加强其数学思维。
参考文献
[1]姚玉敏.解析联想方法在高中数学解题思路中的应用[J].读与写(教育教学刊).2019(12)
[2]庄美荣.联想方法在高中数学解题思路中的分析[J].华夏教师.2019 (31)
[3]严晓春.提升学生数学解题能力的技巧[J].数学学习与研究.2020(02)