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域罢不能

发表时间：2020/6/3 来源：《创新人才教育》2020年第2期作者：包黎芳

[导读] 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。

柯桥区钱清中学包黎芳

        现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。
        函数作为高中数学的主导线，由始至终贯穿于整个高中数学。函数的定义域是构成函数的要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)看似简单，实则不易，在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对学生思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等数学思维能力的提升是十分有利的。
        一、函数关系式与定义域
        函数关系式由定义域和对应法则组成，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
        例1：某户农家要建一矩形篱笆，现有材料可篱笆的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
        解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

        故函数关系式为：．
        如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：
        即：函数关系式为：．（）
        本例说明，在用函数方法解决实际问题时，务必要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
        二、函数最值与定义域
        函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
        例2：求函数在[－2，3]上的最值．
        解：∵函数
        ∴ 当时，
咋一看，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的老思路解题，没有注意到已知条件发生的变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
                      ∵

        ∴
        ∴ 函数在[－2，3]上的最小值是－5，最大值是4．
        本例说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以重视，便体现出学生思维的灵活性。
        三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值构成的集合，当定义域和对应法则确定时，函数值也随之确定。因而在求函数值域时，尤其要锁定函数的定义域。如：
        例3：求函数的值域．
        错解：令
        ∴
        故所求的函数值域是．
        剖析：经换元后，应有t>0，而函数在上是增函数，
        故所求的函数值域是(0, +∞）．
        本例说明，换元后变量的取值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查，就可以避免以上错误结果的产生。也即，学生若能在解好题目后，善于批判性地检查思维过程，就可以找出和纠正自己的错误，这便是思维批判性了。
        四、函数单调性与定义域
        函数单调性也可以叫做函数的增减性。是指函数的自变量在其定义区间内增
        大（或减小）时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
        例4：指出函数的减区间．
错解：令，易知在上时，u为增函数，

       即函数单调递减区间是。
        本例中，学生没有在定义域范围内考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
        事实是本题函数的定义域为（0,2），f(x)的减区间应为(0,1)。
        五、函数奇偶性与定义域
        一个函数具有奇偶性的前提是要求函数的定义域必须关于原点对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

        例5：判断函数的奇偶性．
        如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性会得出如下错误结论：
        ∵
        ∴ 函数f(x)是偶函数．
        错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因

若像以上这样的过程解完这道题目，学生解题思维的敏捷性就完美的呈现在眼前了。
综上，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能锁定函数定义域，注意自变量取值范围有无改变，对解题结果有无影响，就能提高学生解题辨析能力，有利于培养学生的思维能品质，从而不断提高学生数学思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。