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关于初中数学二次函数的最值问题

发表时间：2020/6/4 来源：《现代中小学教育》2020年第4期作者：刘子文

[导读] 二次函数在初中数学教学中是非常重要的内容之一，在对二次函数进行解析的过程中更加贴近生活中实际应用的问题。

西藏自治区林芝市朗县教育局刘子文

        二次函数在初中数学教学中是非常重要的内容之一，在对二次函数进行解析的过程中更加贴近生活中实际应用的问题。尤其是在近几年的中考试题中二次函数的分值在逐渐的提升，通过文字、图像等方式呈现给学生，并通过建立函数关系式求出最值。在实际考察的过程中主要是要求学生对函数关系式的知识点进行灵活的运用，一旦出现二次函数的最值问题，学生基本上都是利用二次函数的顶点坐标求最值，但是在实际解析的过程中这样的方法容易造成解题失误，因为二次函数的最值不一定是在顶点处取得，基于此，针对初中数学二次函数的最值解析问题进行详细的分析和探讨，旨在帮助在解析二次函数的时候找到最佳的方法，提升二次函数的解析能力。
        一、在二次函数图像的顶点处取最值
        例一：在一家超市某一种商品的进价是55元，售价为每件65元，每个月的销售额是200件，如果每一件的售价上涨1元，那么每个月就会少卖10件（每一件的售价不能高于72元），设每一件商品的售价上涨x元（x必须要为整数），每个月的销售利润为y元。
        那么y和x的函数关系式是什么，并直接写出自变量x的取值范围。
        每件商品的售价定为多少每个月才可以获取到最大的利润，利润是多少？
解析：根据题意可以得到相关的方程式：
y=（65-55+x）（200-10x)
y=-10x2+100x+2000(0＜x≤7)
由此可得y=-10（x-5）2+2250
        因为0＜x≤7，所以当x等于5时，y最大值为2250，也就是说超市本月最大的月利润为2250元。
        评析：本题目考察的是二次函数应用中最大利润的问题，根据题目确定函数关系式才能更为有效的解决问题，对于二次函数中y=a（x-h）2+k，当k=h的时候，y的最大值为k。即在二次函数最值问题中如果自变量x的值能够取到h，那么二次函数的最值即为k，对于二次函数最值求解过程中这是最为常见的方法。
        二、针对多个函数分别求取最值对比分析
       例二：在企业处理的过程中主要有两种方式，一种是输送到污水厂集中的进行处理，另一种是通过企业自身的污水处理设备进行处理,某工业企业每月的污水量为12000吨，但是污水厂尚在调试的阶段，污水处理的能力受到了一定的限制，因此需要企业投资自建设备进行污水的处理,这样污水处理的两种方式同时进行，表一是工业企业向污水厂输送的污水量与月份之间满足的函数关系：

在本年的7—12月份，企业自身处理的污水量y2与月份之间x（7≤x≤12）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).图一是1-6月污水长处理每一吨污水的费用z1与月份x之间满足函数关系式z1=1/2x，企业在利用自厂设备进行处理每吨污水的时候其费用z2与月份x之间满足函数关系式z2=3/4x-1/12x2,本年的7-12月，污水处理厂每吨污水的费用均为2元，企业在自身处理污水的时候每吨所需要花费的费用是1.5元。

图一
        第一，根据题目中的表格和图像利用以此函数、反比例函数和二次函数的相关知识写出y1和y2之间的函数关系式.
        第二，求出该企业从一整年哪个月用于污水处理的费用最多，以w表示，求出该月最多的费用。
        第三，目前，因为自建污水处理设备已经全面投入运营，并且企业决定扩大产能能够将工业企业的所有污水量全部处理，在产能扩大之后每月的污水量能够在原有每月的基础上增加a％，同时每吨污水处理的费用相对于本年12月份基础上增加(a-30)％,旨在通过节能降耗在一定程度上减轻企业的负担，在工业企业自费设备进行污水处理的过程中财政基于百分之五十的支持，如果这个月污水处理的费用为18000元，那么计算出a的整数值。
        分析：通过表格可知每组数值相乘的积是一个定值，因此可以断定此为反比例函数，通过函数的图像可知已经给出了两个点的坐标，那么将其代入既可以得到函数的表达式：
        解1：y1=12000/x(1≤x≤6，x是整数)，y2=x2+10000(7≤x≤12,x是整数)
        解2：当1≤x≤6，x是整数时，w=y1z1+(12000-y1)z1
        =-1000x2+10000x-3000
        =-1000(x-5)2+22000
        因为-1000＜0，所以当x为5的时候，w为最大值，最大值是22000
        当7≤x≤12，x是整数时，
        w=2(12000-y2)+1.5y2
        =-1/2x2+19000,
        因为-1/2＜0，所以当x为7的时候，w为最大值，最大值是18975.5,两者相比取w的最大值，最大值为22000，x为5.
        解3：根据题意可知
        12000（1+a％）*1.5*[1+(a-30)％]*(1-50％)=18000
        由此求的a约为57
        评析：在本题目中涉及到的数据相对较多，以此在解析的过程中要理清数据和数据之间的关系，以此列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值。