广西师范大学附属中学（541213） 吴晓红
[摘要]数学基本活动经验是学生通过高中数学课程学习获得的“四基”之一,是传统“三基”新增的“一基”,因此我们在教学中要关注这个新目标.本文以《平面向量的实际背景和基本概念》为例,探讨立足数学基本活动经验,上好数学概念课,发展提升学生的数学基本活动经验.
[关键词]新课程目标 数学基本活动经验 数学概念课
一、教学内容分析
本节课的教学内容是高中数学教材人教A版必修4第二章“平面向量”的起始课——“平面向量的实际背景及基本概念”,是一节“统领全局”的第一课. 本节课的主要内容包括：向量的概念及物理背景、向量的表示、共线向量和相等向量.这里的每个概念都很重要,哪个教学不清楚,都会影响到学生对向量的理解;这里的概念和符号也很多,如果教学是讲授式,一一介绍,那么会让学生觉得内容繁多杂乱且概念生成不自然的感觉,影响对向量的深入理解.
二、教学设计分析
2017年版普通高中数学课程标准的课程目标强调：学生通过高中数学课程的学习,能获得必需的“四基”,比旧版的课程标准多了“一基”——数学基本活动经验. 数学核心素养的养成是高中数学新课程实施的核心目标,学生数学核心素养养成的主要途径是数学活动.因此,课堂教学中学生数学活动经验的获得是学生数学核心素养养成的必要条件[1].学生数学基本活动经验的获得与积累是一个不断循环重复的过程,在认知活动中,立足原有活动经验可以充实完善转化为更科学的内在活动经验.
向量集数与形于一身,有广泛的实际背景和物理背景.因此,对向量概念的教学,适当结合向量广泛的实际背景、向量概念的形成过程,可以充分调动学生的原初体验性经验,这样才能让学生真正地理解向量概念丰富的数形内涵;结合向量的物理背景, 立足学生的基本认知经验,类别数量让学生探究向量该如何表示,加深学生对向量的认识,然后立足动作性技能基本活动经验,让学生分别从大小和方向两个角度类比数量探索向量的特殊关系,认识零向量、单位向量、相等向量、平行向量、和共线向量等概念,辨析它们的差异.教学中,给学生充足的学习空间,最大限度地让学生自主探究、合作交流,给足学生空间,以促进学得和习得更到位,提升和发展形成新的经验.
三、教学过程概述
1.立足数学情感体验性经验、构建概念
问题1：甲乙两车每小时分别行驶40km 和50km 若两车从同一地点同时出发两小时后它们相距多少km ？
师：那么这个40km 和50km反映的是什么量呢？
【设计意图】使用一个简单的“速度不仅有大小，还有方向”的问题快捷引出学生已有的知识，充分调动学生的情感体验经验参与，使学生感受到“不但有大小还有方向”量的实际存在。通过这个问题让学生初步体会到向量概念不是平白无故而来的，自然地引出学习内容.
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图1
问题2：海面上有三个岛A、B、C如图(1)，一游艇先从岛A 出发到岛B送货, 半小时后游艇再从岛B 出发到岛C送货,接着从岛C回到岛A.
(1)请问此时游艇移动的距离是多少？位移是多少？(2)位移和距离这两个量有什么不同？
【设计意图】 借助物理中已经掌握的知识激活学生的已有相关经验，让学生从实际问题中感知向量是既有大小又有方向的量.
问题3: 请同学们想一想我们生活中,哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
比一比：○1各组出一名同学,看谁举的既有大小又有方向的量多；○2各组出一名同学,看谁举的只有大小没有方向量多.
【设计意图】在这通过追问得出丰富的例子，激活学生已有的相关经验知识形成区别不同量的必要性,使学生感知、发现到向量概念的本质和非本质的特征，并初步形成形成对向量的认识，为进一步抽象概括做准备.数学情感体验性经验位于经验塔的底端，丰富的情感体验是形成经验塔塔尖的抽象活动经验的关键基础。从体验性基本活动经验出发,能使学生获得关于建构向量的意义,理解向量的逻辑关系[2].
师：从比一比活动中,我们发现生活中既有很多只有大小的量,也有很多不但有大小还有方向的量.在物理学中常称既有大小又有方向的量为矢量,只有大小的量为标量.数学上将这些量脱离物理属性,把只有大小、没有方向的量抽象为数量；把不但有大小、还有方向的量进行抽象,形成一种新的量——向量.本章书我们即将开始学习向量.请同学们带着“这一章“是什么”“为什么学”“学什么”“怎么学””的问题阅读P72,P73的内容.
【设计意图】这是“平面向量”第一节具备“统领全局”作用的起始课, 因此教学有必要简要介绍向量的作用、向量章节的内容和学习目标，激起学生的学习兴趣,明确学习任务.
2.立足数学基本认知经验,理解概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量；数量：只有大小没有方向的量.
提问：向量与数量的区别是什么？
数量只有大小,可以进行代数运算、能比较大小；向量不仅有大小还有方向 ,具有双重性,可以进行向量运算,但不能比较大小.
问题4：数学中,对数学概念常需要通过符号、图形等方式表示.我们知道了向量的概念,那么如何表示一个向量呢？
(1)向量的几何表示法
师生互动：一回顾、一探究. 回顾
力在物理中的表示；探究向量的几何表示和字母表示,以及向量的模的字母表示.
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图2 图3
师：向量最初来源于物理,我们先来回顾物理中一些矢量的示意图,如图(2)所示,重量为5N的木块放在水平地面上,画出它对地面压力的示意图;如图(3)所示,工人用15N的沿斜面向上的推力将箱子推上斜面,请作出推力的示意图.
生：作图
教师：同学们作的示意图非常好,图中用什么表示力？用什么来表示力的大小？用什么表示力的方向？
生：用有向线段,用线段的长短表示力的大小,在线段的终点画一个箭头表示方向.
教师:方向和大小是力的两个基本要素,我们常用有向线段来表示向量,以A为起点,根据方向按一定比例画出一条线段AB,它的长短表示向量的大小,在终点B画个箭头表示方向.（板书）
师：有向线段包含哪些要素? 生：起点、方向和长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
（2）向量的字母表示法
用有向线段表示向量非常直观,但为了便于书写与表达,我们还需要符号来表示向量,我们还可以用什么符号表示向量呢？
生：类比线段、直线的字母表示法,考虑用字母表示向量,考虑向量的特征,那么可以用顶端带箭头的字母表示.
师：向量也可用顶部带箭头的字母表示,用小写字母 表示,或用表示向量的有向线段的起点、终点字母表示,例如
向量不能表示同一向量.
【设计意图】类比是一种重要的数学思维活动，类比经验能让学生从熟知的同类事物的某些特征推断、发现、接受新对象的特征。在这首先通过一个作物理中力的示意图的活动，激发学生的类比经验，进一步了解向量的实际背景,自然地接受向量的几何表示法；再根据认知经验,类比线段、直线的字母表示,得到向量的字母表示法，使学生认识到几何表示法突出了向量“形”的特征.
(3)向量的模
师：对,方向是向量的两个要素之一,用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义,有向线段使向量的“方向”得到了表示.向量的大小用什么符号表示呢？
生：向量的大小即向量的长度,可以用长度符号来表示；
师: 的大小即向量的长度叫向量的模,记做： .图中 =
(4)零向量和单位向量
师：向量的两个本质分别是什么？接下来我们将分别从大小和方向两个角度来研究向量,先看大小.大小是数量,数量有两个特殊的元素分别是“0”和“1”,数量奠定了0和1,使数量有了减法和除法,让数量展开了运算的翅膀.类比数量,向量的运算应该也需类似的零量和单位量,那么这个零元和单位元应该是什么？怎么定义？
生：从大小来定义,长度为0的向量叫做零向量,长度为1的向量叫做单位向量.
【设计意图】 立足学生的类比认知经验，引导学生从大小的角度类比数量研究向量的大小问题.通过设计的问题串，使学生自然地认识向量大小的表示法，理解零向量和单位向量这两个大小特殊的向量的概念.
3.立足动作技能性经验,探究关系
探究1：我们刚才从大小的角度,研究了特殊的向量.那么现在再从方向的角度来研究向量之间的一些特殊关系.在如图所示的格点图中,请以图中的格点为起点或终点作出一些有向线段.请观察作出的向量的方向有何关系？
学生动手作出向量,发现几种特殊关系：平行关系、共线关系、相等关系、垂直关系等.
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【设计意图】通过作向量找关系的动手数学活动,使学生观察、体验和感受向量特殊关系的产生,进一步理解向量概念.立足于学生的动作技能经验,探索向量的特殊关系,足够多的动作技能性体验,有利于学生加深对向量知识的理解.
问题5：类比线段、直线的一些特殊关系的定义,那么向量的一些特殊关系如何定义？
(1)平行向量
生：在同一平面内,有向线段所在的直线没有公共点的向量叫做平行向量.
师：直线的组成要素是点,所以平面几何根据点的位置,给出了直线的平平行关系,但是向量的要素是大小和方向,我们是否可以从方向来刻画向量的平行关系？
组1:我画出的向量是…..,每个向量的终点相对起点的方向是相同或相反的；
组2:我画出的向量是…..,每个向量都可以平移到同一条直线上,此时它们的方向是相同或相反的.
师：这两位同学都观察得很出色,分别从方位和平移后的关系,得出了方向关系,从方向的角度,我们如何定义这些所在有向线段互相平行的向量呢？哪位同学能用数学语言来表达？
生:一般地,方向相同或相反的向量叫做平行向量.
师:(PPT,板书)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果两个向量 、 平行,记作: ,图形表示.平行向量包含两个概念.
规定：零向量与任一向量平行,即 .因此零向量的方向是任意的.
【设计意图】引导学生能挖掘出这个思维结果背后的过程,尝试向量平行与线段、直线的平行进行类比,通过向量的要素--方向,合理得出平行向量的概念.
(2)相等向量、相反向量
生1：从所作的平行向量中,我发现有些向量大小相等,方向相同.
生2：从所作的平行向量中,我发现有些向量大小相等,方向相反.
师：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量,长度相同且方向相同的向量叫做相等向量.
师：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,如果两个向量 、 相等,记作： .在数量关系中,如果两个数量相等,那么它们就可以用数轴上的同一个点、同一个数字（或符号）表示；同样的,在向量关系中,任意两个相等的非零向量,也可以用同一个有向线段来表示.对于向量 ,那么向量 与 可以同时用有向线段AB表示，它们也可以同时用有向线段CD表示， 与 还可以同时用有向线段向量 表示,表示相等向量的起点是自由的,所以数学研究的向量也称为自由向量；任意两个相等的非零向量,可以用同一个有向线段来表示；反之,在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.
（3）共线向量
向量是自由的,结合平行向量的特征,任一组平行向量,都可以平移到一条直线上,它们都可以用同一直线上的向量来表示,所以平行向量也叫共线向量,反之共线向量也叫平行向量.
问题6：平行向量与平行直线中的“平行”有何关联和差异；共线向量与共线直线中的“共线”有何关联和差异，垂直向量和垂直线段有何关联和差异？
生：向量的平行和共线是同一个概念,方向形同或相反的向量,平移后能在同一直线上的向量,都叫平行向量,也可以叫共线向量.直线的平行和共线是两个不同的概念.
4.例题互动、发展数学基本活动经验
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【设计意图】结合本节易混淆、易出错的知识点，设置一些正例和反例,让学生在辨析对错的过程中理解和记忆向量概念. 概念形成过程中必不可少的一个重要环节是对概念进行辨析.概念辨析活动可以发展学生联系和应用所学新知识,解决问题的数学基本活动经验.
例2.如图,令正六边形ABCDEF的中心为O,分别写出与OA,OB;OC 相等的向量..png)
【设计意图】充分利用合作学习和小组讨论,使学生一步理解相等、共线向量的概念及区分.
5.归纳小结、发展数学基本活动经验
（引导学生自己小结）能否画个图,把今天学的内容梳理一下？学生小结本节课学习的内容.
教师：我们今天类比数量、几何上的线段与直线研究了教材第二章向量的第一节课，了解了向量概念及其表示方法,以及它的物理背景,了解了两个特殊向量的由来并尝试定义了四个特殊的向量关系，其中的基本思路非常值得同学们认真体会.同时我们也要懂得：因为向量带有方向,所以只用代数的形式已无法表示,必须结合几何的形式.同时，随着向量学习的深入，我们将会深刻体会到向量这个具有代数形式和几何形式的“ 双重身份”给平面几何量的计算与应用带来巨大的力量.
【设计意图】通过总结学习,让学生一步理解向量的概念.通过反思提升环节,使学生进一步体会到研究问题的方法、提高了对自己的学习行为进行自我分析和总结的能力,发展数学基本活动经验.
[参考文献 ]
[1]仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程?教材?教法,2010（10）.
[2] 黄翔,童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J]. 课程?教材?教法,2008（01）.