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发表时间：2020/6/8   来源：《教育学文摘》2020年5期   作者：陈婧

[导读] 当今，中考试题在立德树人的教育目标引领下,强调学科育人，

        摘要：当今，中考试题在立德树人的教育目标引领下,强调学科育人，突显学科素养的考查.问题设置常常体现情境多元、问题有效、立意深远、导向明确、思维开放、形式多样等特点,对课堂教学有一定的指引作用.因此，教学中，教师既要有获取中考信息，把握中考动向的意识，更要有“下海”解决中考题，剖析题目的特色与价值，反思教学得与失等能力.以此聚焦问题，为学导航.
关键词：解题探究；特色剖析；教学反思
        在初中数学教学中，很多教师对中考题情有独钟，经常就某个中考题进行交流研讨，诸如寻找来源，探究解法，介绍学生解题情况等.诚然，以有价值的中考题为抓手思考教学，也是一种较好的教研方式.但通过观察，更多的境况是浮于表层（满足于如何解答），不够深入（缺少问题反思），没有真正发挥“中考教研”的作用（转化为教学生产力）.下面就结合一道中考题的探索历程，谈谈自己的所做所思，以期抛砖引玉．
        1     原题呈现
如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
(1)求证：AD＝BC；
(2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
                                                        　（2015年安徽省中考第23题）
        2     解法探究
        　问题剖析：面对几何综合题，学生乍看上去，着实让人打怵，线段多，图形繁.但细观察加上直观经验提示，这里重点考查的是全等三角形与相似三角形的相关知识，这种直观感知与思维定向，对学生解题经验的积累是有帮助的.有了想法，便能以图思法，逐一解决问题.
        　解法展示：（1）证明：因为GE是AB的垂直平分线 ,所以GA=GB. 同理GD=GC.
       

        3     特色分析
        本题作为几何压轴题，根植于教材基本图形（等腰三角形、直角三角形、轴对称图形、旋转变换图等），通过命题者用心挖掘，匠心组合，呈现出一幅“厚重”的几何构筑图，聚“四基”（基础知识、基本能力、基本思想方法、基本活动经验）于一身，凸现对学生独立思考、自主探索及逻辑推理能力的考查，特色明显，回味醇厚．
        　3.1  关联模型巧构图
        本题选取教材中学生熟知的图形作为问题背景，多图融合，巧妙地把全等三角形、相似三角形、线段的垂直平分线、等腰三角形、两直线垂直、三角形的中位线、两条线段的比、成比例线段等核心内容整合在一个图形中，从而较好的考查学生的识图能力和综合运用数学知识解决问题的能力.本题以顶角顶点相同的两个相似的等腰△QAB和△GDC与对边相等的四边形ABCD等基本图形为载体，各个问题的设计也是围绕这两个图形展开的.其中△AGD和△BGC是一对“手牵手型”的全等三角形，△AGD、△BGC与△EGF是三对“手牵手型”的相似三角形，△GAB和△GDC是一对“手牵手型”的相似等腰三角形. 将图形分解剖析，不难看出下列一些常见模型图：
       
       
       
       
       
       
       

              







        学生见到这些图形，感到亲近的同时，能想到很多曾经做过的题目，或者似曾相识的条件、结论，正如G波利亚“怎样解题”里说的，你能想到哪些做过的题目，构建起新题和原题的关联，从这个角度看，学生对该题有亲切感，显现公平，体现关怀．
        将一些重要的基本图形融合到一起，形成了新的问题情景——“图景新”；
        问题中涉及多线段、多图形、多位置、多关系、多知识、多方法，但“多而不乱”——“层次新”；
        从问题探索与解决中，“静中有动”，“显中有隐”；有翻折变换，旋转变换；有“显”的全等，有“隐”的相似；有“显”的位置，有“隐”的辅助线——“变化新”．
    本题的背景设立、问题设问、结构设置等方面精心设计，精巧构思，精深立意，较好地体现了公平性、基础性、新颖性．
        　3.2 关注思想培能力
        第（1）问是证明线段相等，立足于学生思考的通法——三角形全等，但条件需要自己探索，问题自然引向线段垂直平分线性质及如何证角等的方法上来；第（2）问设置也很直接，重在对核心知识（相似）的考查，实现从“全等”到“相似”的延伸，但在如此错综复杂的图中考查相似，并且还需要一个看似平常的相似形助力，进而将相似三角形对应高的比等于相似比派上用场，可谓用心良苦，是一种深度考查，学生只有透彻理解了基本知识、基本方法后，有较强的识图、辨图能力，才能如愿以偿．对学生的思维力提出了更高的要求；第（3）问从一般化又转向特殊化，由位置关系探求数量关系，设置巧妙，方法灵活多样，有效地将“垂直、中点、中位线、勾股定理等知识牵连激活出来，关注了知识的生长、延伸与融合.引领学生“牵线搭桥”，培养了学生知识联想、分析应用、逻辑推理、综合思考、问题解决等多种能力．
    本题过渡自然，层层递进，渗透了诸多数学思想方法，强化对数学理性思维能力的概括，突显数学的“魂”之所在及科学价值．
（1）变换思想：图形中的△AGD和△BGC，△GDC和△GAD，△GAD和△GEF渗透旋转变换；△GAE和△GBE，△GDF和△GCF涉及翻折变换等.熟悉这些变换，利于分辨图形和寻求联系．
（2）特殊与一般：问题设置中由“全等”到“相似”；AD、BC所在直线由不垂直到垂直等等渗透了“特殊与一般”的关系，明白了这些关系利于规律的探索与结论的发现．
（3）类比联想：由“SAS”法证“全等”可类比用“两边成比例夹角相等”证“相似”；由“中点”类比联想“中位线”；由“比”联想到“比例”．类比法可以实现知识的联想、方法的迁移，是一种有效解决问题的办法．
（4）转化思想：通过“分解图形、视而不见”实现“复杂到简单”转化；由“位置关系”向“数量关系”转化；通过相似比将转化；通过添加辅助线将“离散”的AD、EF向“汇聚（三角形中）转化，通过诸多的转化思维实现问题的突破．
        　3.3 以题立法助教学
（1）关注过程，授之以渔
        学生解题是在经历思维旅行，中考题的命制导向对教与学的影响是久远的，这就要求在命制问题时，要关注学生的基本活动经验，考虑学生的最近发展区，以问题为平台引导教学，问题设置与解决应层次分明，拾级而上，以“点”为根，以“线”贯穿，以“过程”训思维，以“思想”提能力．本题以探索三角形全等为起点，由“全等”到相似，由“相似”再到“比值”，环环相扣，步步推进，为学生实现“思维之旅”搭建了良好的平台．[1]
        　教学几何问题时，首先，要引导学生读出题目信息，去芜取菁，析出关键条件，并在图形中标明（一般用铅笔较好），实现数学三种语言之间的转换与融合．对于图形，既要整体把握图形间联系，又要能拎出“基本模型”，还要学会“分解图形”，分出层次，排除干扰，为问题解决创造良好的前期准备．
        　其次，要授之解决证明题的一般套路．即指导学生会用分析法（执果索因）来寻找思路，简明画出逆推图，用综合法（由因到果）书写证明过程，二者相得益彰，对照使用．如第（1）问的证明思路可用框图表示为：
                            

                                    


    第（2）、（3）问同样要类比上述方法分析，然后再从右向左的方向进行书写，即可达成分析过程与书写过程的和谐统一．
    再次，要对解题进行总结反思.对教与学来说，完成问题的解答，其实才完成了问题的解决的一半，更重要的工作是要学会反思．通过解题有哪些收获（知识、思想方法、思路与辅助线的添加）?有何困惑（图形的识别与提炼、解题的主要障碍等）？问题如何变式延伸？又如何求解等？如本题第（3）问，改为“若AD、BC所在直线夹角为600，能否求出的值呢？”这样可以放大中考题的实际价值．
（2）一题多法，拓展思维
        波利亚曾说过：“解题成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了辨别哪一条路正确，哪一个方向可以接近它，就要试探各种方向和思路．”这就要求多角度探求问题，拓展思维的深度与宽度．本题第（3）问就有多种思考路径和方法．
        思路一：“牵线”显“垂直”，证△AGB为等腰直角三角形（图3）；
        思路二：取四边形对角线中点，构造中位线（图4、图5）；
        思路三：以“中点”为对称中心，构造中心对称图形（全等）（图6、图7）．
        这三种思路是学生由条件可以想到的“自然思路”，而且有的构图方法又不拘一格，既取之“自然”，又灵活多样．拓宽学生的视野，培养了学生思维的发散性与融通性．使学生的思考方法更多，思维的范围更广，对学生的发展大有裨益！同时这也要求在平时的教学中不断引导，反复渗透强化，从而更好地培养学生解题能力．
        　4    教学导向分析与反思[2]
        　4.1走进教材，回归“源问题”
        “问渠哪得清如许，为有源头活水来.” 朱熹的话告诉我们，作为教师要能走进教材，走进基本问题，方可品鉴“源头活水”．教师要利用好教材，把握好教材，数学育人的载体是数学的内容及其由内容反映的思想方法.只有当老师具有挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并能以与学生智力发展水平相适应的方式表达出来，以恰当的方式传达给学生，才能有效地实现数学课程的育人目标.
         教材中的习题、中考题是经过专家精心打磨和设计的精品问题，如何挖掘题目的内在价值，是每个数学教育者均要关注的.在教学设计时，不能让“源头活水”——教育资源轻易流失，要能运用问题、变化问题、深化问题、活化问题，不断开启学生思维的大门.
        　4.2走出题海，把玩“好问题”
        　卢梭指出：“问题不在于教各种学问，而在于培养有爱好学问的兴趣.”陈省身先生曾说：“数学好玩.”这就说明问题并不在于多、繁、杂，而要符合学生的兴趣特征，能引发思维，让学生内感好玩、有趣而着迷入神，从而变“厌学”、“苦学”为“好学”、“乐学”的神往境界.
        　首先，教师要精选问题.随手拈来的数学问题，缺乏思考的问题机械重复训练只能伤害学生的身心健康，同时人为编造的、刻意求难的做法亦不可取，陷入题海同样让学生苦不堪言.追求问题本质，促进学生发展方显问题魅力.
        　其次，不错过好问题，细心“把玩”问题.一题多变，一图多用，一题多解，多题归一.如上述中考题，需要反复把玩“角的和差、角的相等关系、边的成比例关系及三角形全等和相似关系”，让人流连忘返，乐在其中.教学时就要努力引导学生“玩设问、玩图形、玩解法、玩思想等，让学生乐此不疲，促进学生思维与能力的发展.
        　最后，指导有效解题.解题是数学教学的核心任务，教师创设典型性的问题，让学生充分思考，营造浓烈的解题探究氛围，形成有效的解题经验.通过解题，使学生对数学本质、方法、思想有更深刻的认识，从而提升思维品质.
        　4.3走入学生，关注“疑问题”
        教师应以学生为本，以学生发展为本．要时时处处走入学生，以“从学生中来，再到学生中去”为研究问题的出发点，本着“创设问题——引导问题——探究问题——发现问题——反思问题——解决问题——深化问题”为根本设计思路，从学生关注的、常错的、易错的、疑难的问题入手解读问题，从学生的视角把控问题，从学生实际精心巧妙设计问题，不断融入师生的想法与见解.如上述问题，通过阅卷及学生解题发现，其疑难问题是第3问中辅助的添加及基本模型的建立，需要老师精心分析，耐心引导，用心点拨，破解问题．以解决学生疑难问题为根本方向，细化题目的设计、布局、牵引、指导、分析与解决，这样就抓住了“问题的牛鼻子”．
        理解学生是教学的起点，解决学生的疑难方是教学的主着力点.通过有代表性的问题链夯实基础，解决疑难，纠正错误，提升能力，以题引领，以题得理，以题感悟，不断提高.
参考文献
[1]李军.顺自然生成之法 显常态教学之美[J].中学数学教学参考（中旬）,2016(6):24-25.
[2]李军.分图 分类 分析——一道中考操作题的解法探究及分析思考[J].中学数学（10月下初中版）,2015(10):63-64.