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摘要：单层球面网壳以其受力合理的结构形式、外形简单美观、跨度大、用料经济等优点，在空间结构中应用广泛。本文以唐山市某大型展览馆为设计对象，结合建筑要求和单层网壳的优缺点选取凯威特型单层球面网壳为主结构体系。根据荷载规范和当地的地理条件进行荷载取值，并根据规范要求进行合理的截面设计。采用有限元软件ANSYS结构的静力和动力承载能力进行整体计算分析，同时进行结构在对称荷载和非对称荷载下的稳定性全过程分析。分析结果表明，该结构各项性能指标均满足规范要求，具有较高的安全性和经济性。
关键词：单层球面网壳；截面设计；稳定性；动力响应
Design and analysis of a single-layer spherical reticulated dome structure with a span of 100 meters
Abstract：The single-layer spherical reticulated dome is widely used in the space structure due to its advantages of reasonable mechanical structure，simple and beautiful appearance，large span and economical materials.In this paper，a large exhibition hall in Tangshan City is taken as the design object，combined with the architectural requirements and the advantages and disadvantages of single-layer reticulated dome，the main structural system of Kaiweite single-layer spherical reticulated dome is selected.According to the load code and local geographical conditions，load values are taken，and reasonable section design is carried out according to the code requirements.The static calculation and dynamic bearing capacity of the structure using the finite element software ANSYS are used for the overall calculation and analysis.At the same time，the whole process of the stability of the structure under symmetric and asymmetric loads is analyzed.The analysis results show that the performance indicators of the structure meet the requirements of the specifications，and have high safety and economy.
Key words：single-layer reticulated dome；Section design；stability；seismic response
1 工程概况
本文以唐山地区某假想展览馆为设计对象，展览馆场地为直径100米的圆形区域，考虑展览馆的建筑需求和场地跨度条件，采用100米跨度单层球面网壳结构体系，矢高30米，地基采用钢筋混凝土基础，研究[1]表明当结构基础刚度较大时，对屋盖力学性能影响较小，可以直接采用独立屋盖模型进行计算分析。因此本文设计以上半部屋盖为主；结构设计使用年限100年，建筑结构安全等级为一级；网壳屋面采用轻型屋面，杆件均使用圆截面钢管；节点连接均采用焊接；支座节点采用拉压型构造。
2 结构分析理论
数值模拟技术在工程领域应用广泛，是一种在结构静力和动力分析理论基础下，通过计算机技术求解近似解的方法。其中，有限元法是应用最广泛的数值模拟方法。有限元法是将整体结构离散为有限个单元，通过离散的有限自由度问题来模拟连续的无限自由度问题，从而实现结构整体分析的目的。
2.1 结构静力分析理论
在实际工程结构设计中，线性静力分析是其他分析的基础，虽然结构形式多变，建筑材料多样化，各类建筑设计规范和设计原理也各不相同，但是在设计阶段基本上采用线弹性分析理论，结构的位移、应力和应变等参数也是在线弹性基础下得到，然后根据静力参数进行构件的设计。对于某些可变荷载，可以等效为静力荷载，按线性静力分析的方法来分析可变荷载对结构产生的影响。
静力分析的目的是分析结构在静荷载作用下结构的位移、应力、应变响应等。结构体系的运动方程（1）表达如下：
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（1）
式中：
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为质量矩阵；
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为为阻尼矩阵；
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为刚度系数矩阵；
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为节点加速度向量；
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为节点速度向量；
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为节点位移向量；
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为节点荷载向量。在线性静力学分析中，假定
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是连续的，
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为静力荷载，因此方程（1）可简化为：
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（2）
位移矢量
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可通过上式的矩阵方程得到。
2.2 结构动力分析理论
本文主要用到的结构动力分析基本理论包括模态分析、谱分析和时程分析。结构的模态分析本质是计算结构振动特征方程的特征值和特征向量，在分析过程中通常按无阻尼自由振动处理。当作用力为零时得到自由振动方程（3）：
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（3）
若忽略阻尼即可得到无阻尼自由振动方程（4）：
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（4）
该方程的解为：
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（5）
则
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（6）
将方程（5）、（6）带入（4）得：
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（7）
式中
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为结构的自振频率；
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特征值；
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为特征向量；
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为初相角。
谱反应了时间-历程荷载的强度和频率之间的响应关系，通过谱曲线可以确定是谱值与频率的关系。《建筑抗震设计规范》[2]中地震影响系数曲线是针对建筑结构的阻尼比0.05绘制的，其规定当屋盖直接支撑在地面上时，阻尼比取0.02，需要对阻尼调整系数和形状参数进行调整，调整结果见表1。本文荷载组合考虑地震效应时采用此方法，假定材料为线性，几何线性结构。
表1 反应谱参数
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时程分析法分为弹性和弹塑性时程分析法两大类。计算“小震不坏”阶段，采用的结构刚度和阻尼在地震作用过程中均保持不变，属于弹性时程分析。“大震不倒”计算属于弹塑性时程分析，结构刚度和阻尼大小在弹塑性阶段下根据结构及其构件所处的非线性状态会随时间发生变化。弹塑性时程分析能够清晰的描述结构在强震作用下线性和非线性阶段的动力响应，以及结构构件从开裂到材料屈服、破坏甚至倒塌的全过程。
地震作用下结构振动微分方程为：
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（8）
式中：
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为单位向量；
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为输入的地震加速度。
3 结构选型及分析模型
3.1结构选型
凯威特型球面网壳的内力分布均匀，在风荷载和地震等非对称荷载作用下的承载能力非常突出，因此常用于大跨度结构。本文设计的展览馆需要有良好的通透性，以满足采光需求，结合其建筑造型要求考虑采用单层球面网壳，而展览馆又属于重点设防类建筑[3]，为应对跨度大，受力复杂等因素，因此采用凯威特型球面网壳结构体系。网壳参数表（2）及结构示意图（1）如下。
表2 网壳参数表
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3.2 分析模型
本设计采用ANSYS进行结构计算分析，基于ANSYS有限元程序参数化设计语言建立K8型单层球面网壳模型，网壳支座假定为与混凝土基础固接；杆件采用PIPE20单元（如图2所示），计算中考虑管单元的塑性和大挠度；选取Q235碳素结构钢作为网壳的承重构件，各项参数见表3。材料本构关系如图3所示，同时考虑几何非线性和材料非线性。
表3 材料参数表
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4 荷载取值及截面设计
4.1 荷载取值
根据《建筑结构荷载规范》[5]屋面恒载取0.5 kN/m²；本展览馆屋面不上人，屋面均布活荷载取0.5 kN/m²；雪荷载采用唐山市100年重现期的基本雪压0.4 kN/m²；雪荷载均匀分布系数取0.42，雪荷载准永久值系数分区位于二区；唐山市海拔高度27.8 m，基本风压采用100年重现期风压0.45 kN/m²，地面粗糙为D类，风压高度系数取0.51；风振系数取1.5，风荷载体形系数按照旋转壳顶类型取值。大型展览馆属于重点设防类，按高于唐山地区抗震设防烈度一度的要求加强其抗震措施，地震烈度取9度，加速度0.4g，地震分组为第二组，场地类别为第Ⅱ类，同时考虑竖向地震作用。本设计计算中考虑了14种荷载组合（表4），组合1~5由永久荷载效应控制；组合6~12由可变荷载效应控制，组合13~14为考虑地震效应的组合，利用谱分析时对三向的地震作用进行组合，以保证求得最不利荷载工况。在初拟截面下各荷载工况的计算结果见表5。
由于结构呈对称分布，所以非对称荷载对结构的影响较大，在半跨雪荷载下由永久荷载效应控制的组合3出现最大竖向位移52.52 mm，地震作用的组合13出现最大单元应力215.97 MPa，考虑到最大竖向位移远小于设计允许变形值L/400，因此将组合13作为最不利荷载工况。
表4 荷载组合表
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表5 工况结果统计表
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4.2 截面设计
网壳结构主要以轴向受力为主，因此可按轴向压杆或轴向拉杆来确定杆件截面。设计受压杆件时要求压杆的长细比不能超过允许长细比，以防止杆件过于细长产生初弯曲，导致压杆的极限承载能力降低；而受拉杆件的长细规定比主要用来保证杆件具有足够的刚度，在使用过程中不至于产生过大的变形。规范[6]规定以受压和压弯为主的杆件长细比[λ]=120；受拉与拉弯为主的长细比[λ]=200。单层网壳杆件的计算长度按壳体面内和面外分别取值，其中面内计算长度取0.9 l，面外取1.6 l，l为两节点形心连线的距离；此外空间结构相邻的弦杆截面面积之比不应超过1.8倍，以保证结构刚度的连续性；圆管压杆的外径与壁厚之比不超过100εk2。
本设计采用采用轧制Q235钢无缝钢管，截面分类为a类，设计强度取215 MPa。根据最不利荷载组合的计算结果，杆件最大应力为215.97 MPa，结构重要性系数取1.25，依据工程经验，应力比取0.8。按规范要求设计的各截面取值为：主肋Φ480 mm×9 mm、1～3环环杆Φ325 mm×9 mm、4环和5环环杆Φ325 mm×7.5 mm、6环环杆Φ159 mm×5 mm、2～6环斜向杆件Φ480 mm×9 mm。在该组截面下，结构总用钢量为393 t，单位用钢量约为42 kg/m²，具有较高的经济效益。
5静力性能分析
5.1 周期与振型
网壳的振型和自振频率是网壳自振特性的指标，通过网壳的自振频率可以反应网壳结构的刚度特性。网壳的自振特性由网壳本身的质量、刚度和阻尼等决定，由于阻尼的影响很小，在分析结构的自振特性时不考虑阻尼。本文利用分块Lanczos法求取结构的前10阶模态进行结构的自振特性分析，各阶模态的频率见表6，结构前6阶振型见图4（放大20倍）。
表6 自振频率表
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图4 结构振型图
通过振型分析可以发现结构的自振频率非常接近，没有太大的跳跃，因为单层球面网壳结构为对称结构，所以相邻的自振频率会出现一致的情况。总的来看，单层网壳结构的振型形式分布以竖向弯曲为主，各阶振型沿主轴方向的位移比较小，且相差不多。对于大跨度的网壳结构，其振动主要表现为较强的水平和竖向振动的组合，网壳结构的振动响应十分复杂，在计算地震效应时采用了三维地震同时激励来确保能准确反应地震的影响。
5.2 变形
大跨度空间结构对自身的变形很敏感，过大的变形将导致结构的承载能力大大降低甚至丧失承载能力。通过计算得到结构在无地震作用荷载工况下的最大位移为46.42mm；水平地震作用为主的荷载工况和竖向地震作用为主的荷载工况下结构最大位移分别为53.76 mm、27.90 mm，图5为结构变形云图。规范[2]规定单层网壳结构的挠度控制在L/400=100000/400=250 mm，通过结构的变形分析，该单层网壳在各荷载工况下产生的最大位移为53.76 mm，满足设计要求。
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图5-1变形云图 图5-2 水平地震作用变形云图 图5-3 竖向地震作用变形云图
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图6-1 无地震作用工况应力云图 图6-2 水平地震作用应力云图
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图7 结构屈曲模态
5.3 应力与应力比
无地震作用组合工况下结构的最大应力出现在图6-1圆圈位置，应力值为69.4MPa，应力比0.33；地震作用组合工况下结构的最大应力出现在图6-2圆圈位置，为142 MPa，应力比0.66，满足设计要求。
6 稳定性分析
影响网壳结构稳定性的因素主要有非线性效应、初始缺陷、荷载分布和边界条件等。本设计的整体稳定性分析考虑了活荷载满跨布置和半跨布置。依据《空间网格结构技术规程》[6]，采用最低阶屈曲模态来考虑初始几何缺陷并按“网壳跨度的1/300”作为最大缺陷幅值。
6.1 线性屈曲分析
特征值屈曲属于小变形条件下的弹性分析，没有考虑结构变形的影响，也没有考虑非线性和初始几何缺陷的影响，得到的临界荷载值偏小，无法作为结构极限承载能力的准则，因此特征值分析是一种不安全解。但是特征值屈曲分析是非线性分析的基础，也是引入初始几何缺陷依据，是结构稳定性分析不可缺少的一步。其控制方程为：
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（9）
式中，
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为结构的线弹性刚度矩阵；
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为初应力矩阵或几何刚度矩阵，
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为特征值，即荷载因子。
结构前6阶屈曲模态如图7，从图中可以看出，前6阶屈曲模态均为网壳结构的局部屈曲失稳，失稳部位集中在第二、第三环，屈曲形态也极为相似。通过对该网壳的特征值屈曲分析可以看出该单层网壳结构的整体性较好，发生失稳的可能性极低。
6.2 非线性稳定分析
结构的非线性分析主要通过荷载-位移全过程曲线（引用）来实现，其控制方程[7]为：
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（10）
式中，
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为切线刚度矩阵；
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为位移增量向量；
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为等效外荷载向量；
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为等效节点力向量。
在本工程中，非对称荷载主要有半跨雪荷载和风荷载，其中风荷载是
对结构有利的活荷载且荷载比较小，在本节不予考虑，雪荷载全跨布置和半跨布置的荷载—位移曲线如图8，单层网壳结构在无缺陷模式下最大静承载力是外荷载的8.847倍，由于网壳最大初始几何缺陷过大，导致球面网壳“畸形”构型，在6.141倍外荷载作用下达到临界点；通过临界点后一刻的荷载大小可以进一步判断该失稳模式为极值点失稳。半跨雪荷载作用下结构的极限承载能力为外荷载的5.67倍，其失稳模式也是极值点失稳，相比完善结构，承载力下降了35.91%，相比对称结构，承载力下降了7.67%。其次，相比对称荷载下的荷载-位移全过程曲线，非对称荷载下网壳结构的荷载-位移曲线变化剧烈，达到稳定极限承载力时，结构最大竖向位移仅为114 mm，失稳具有突发性。
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图8 荷载-位移曲线
7 动力响应分析
7.1 地震波的选用
本设计按建筑场地类别和设计地震分组选用2组唐山地区实测三向地震动记录和1组人工模拟的地震波，编号分别为TS01、TS02、TS03。地震动三个方向峰值比值按1：0.85：0.65比例调整，每隔0.01 s取一个测点，调整后的地震动记录如图9所示。结构阻尼采用阻尼-瑞利（Rayleigh）阻尼，阻尼比取0.02；同时考虑几何非线性和材料非线性。
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图9-1 TS01地震波 图9-2 TS02地震波 图9-3 TS03地震波
大型展览馆属于重点设防类，按高于唐山地区抗震设防烈度一度的要求加强其抗震措施，因此取9度区多遇地震加速度峰值（140 cm/s2）和罕遇地震加速度峰值（620 cm/s2）分别进行多遇地震的补充计算和罕遇地震的弹塑性验算，荷载工况取1.0恒载+1.0活载。图10分别为多遇地震和罕遇地震下的最大位移节点的位移时程曲线，图11为变形云图，图12为应力云图。
多遇地震补充计算中，结构的最大位移为78.16mm；罕遇地震弹塑性验算中，不同地震波导致结构的最大位移差异较大，其中，TS01地震波导致结构产生最大位移 214.75mm，通过变形云图可以看出地震波使杆件产生了很大的弯曲变形，导致结构位移过大，但各条地震波作用下结构的最大位移均小于单层网壳结构的挠度控制值L/400；从应力云图可以看出多遇地震作用下结构的最大应力为83MPa，出现在第二环，如图红圈位置，远小于材料屈服强度。罕遇地震作用下各条地震波均使结构构件开始进入塑性，最大应力为236 MPa，最大应力出现在第2环红圈位置，说明结构在该处比较薄弱。综合计算结果，该结构满足小震弹性计算和大震弹塑性验算的要求，符合“小震不坏、大震不倒”的标准，抗震性能良好。
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图10-1 多遇地震位移时程 图10-2 TS01位移时程 图10-3 TS02位移时程 图10-4 TS03位移时程
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图11-1 多遇地震变形云图 图11-2 TS01变形云图 图11-3 TS02变形云图 图11-4 TS03变形云图
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图12-1 多遇地震应力云图 图11-2 TS01应力云图 图12-3 TS01应力云图 图12-4 TS01应力云图
8 结论与展望
本文以唐山地区某展览馆为假想设计对象进行结构设计，总结梳理了基本的计算理论，利用ANSYS有限元程序参数化设计语言进行结构的建模和整体计算，通过对网壳结构的系统设计保证了结构的安全性，现总结如下：
（1）在实现建筑需求和满足场地条件的基础上进行结构选型，并利用ANSYS建立了凯威特型单层球面网壳有限元模型，初拟5种截面以便后续的计算。
（2）根据规范进行唐山地区荷载取值，组合14种荷载工况并确定最不利荷载工况，依据规范设计要求进行截面设计，使结构在保证安全的前提下经济合理。
（3）通过静力分析，确定了结构的自振频率和振型；结构的最大位移为53.76mm，最大应力为142 Mpa，应力比0.66，满足设计要求。
（4）稳定性分析阶段分别对结构进行了线性屈曲分析、考虑初始几何缺陷的几何非线性屈曲分析和非对称荷载作用下的屈曲分析，找出了结构的稳定极限承载力，经计算，结构的安全系数大于4.2，满足稳定性要求。
（5）选用两条唐山实测地震波和一条人工地震波进行结构的多遇地震补充计算和罕遇地震的弹塑性验算，结果表明该网壳在多遇地震作用下所有杆件均保持弹性工作状态，罕遇地震下结构开始进入塑性，结构抗震性能良好，安全性较高。
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