【摘要】算术平方根的定义，是内涵丰富的基础性定义。可以引申出对平方根定义的数学符号表示，探讨被开方数的性质，的双重非负性，有无意义的含义，以及对平方数、开得尽方的数的理解。算术平方根的定义举例引申拓展，加深对平方与开平方互为逆运算的理解，对二次根式的乘法法则、除法法则的理解与运用。
【关键词】算术平方根的定义；引申拓展；平方与开平方 互逆运算； 二次根式的乘除法法则
算术平方根的定义，是内涵丰富的基础性定义。可以引申出对平方根定义的数学符号表示，探讨被开方数的性质，的双重非负性，有无意义的含义，以及对平方数、开得尽方的数的理解。算术平方根的定义举例引申拓展，加深对平方与开平方互为逆运算的理解，对二次根式的乘法法则、除法法则的理解与运用。
一、算术平方根的定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术平方根是0
二、对算术平方根的定义的举例理解，也是引申拓展的基础
1、∵ 22=4 ， ∴ 4的算术平方根是2，即 =2
2、∵ 32=9 ， ∴ 9的算术平方根是3，即 =3
3、∵ 42=16 ， ∴ 16的算术平方根是4，即 =4
4、∵ 52=25 ， ∴ 25的算术平方根是5，即 =5
5、∵ 62=36 ， ∴ 36的算术平方根是6，即 =6
6、∵ 72=49 ， ∴ 49的算术平方根是7，即 =7
7、∵ x2= a （x≥0）， ∴ a的算术平方根记为，即 =x （a≥0，x≥0）
8、∵（）2=2 ， ∴ 2的算术平方根记作 （开不尽方的数，无理数的出现）
9、∵（）2=3 ， ∴ 3的算术平方根记作
三、平方数
平方数，又叫完全平方数或正方形数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如：9=32 ，9是一个平方数。同理，常见的平方数如：1、4、16、25、36、64、81、100、121...
四、算术平方根的被开方数的性质
∵ x2= a （x > 0）， ∴ a的算术平方根记为
1、具有双重非负性
（1）、∵ x2= a （x≥0），∴a≥0
（2）∵ x2= a （x≥0）， ∴≥0
（3）因此，式子隐含了两个条件：一是a≥0，二是 ≥ 0
2、负数没有平方根
由平方根的定义知，∵ x2=a ，∴ x叫a的平方根。
记作x=±
∵ x2≥0 ，∴a≥0 ，∴≥0 ，因此，二次根式有意义，就要使被开方数大于等于0.
3、被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
∵ 4 < 9 < 16 < 25 < 36 < 49 < ...
∴ < < < < <<...
即2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 <...
4、估算算术平方根的取值范围
例：估计与最接近的两个整数是多少？
解：∵ 36 < 40< 49 ，∴ < < 即 6 < < 7
∴与最接近的两个整数是6和7.引申拓展一下知：
的整数部分是6，小数部分是 - 6
5、被开方数的小数点移动规律
被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，开方后的结果向相同方向移动一位。
例如：已知 ≈1.732 ，那么可知 ≈0.1732 ， ≈ 17.32
五、平方与开平方互为逆运算，有两个常用公式
1、∵ = 2 ，把4变形写成 22 的形式， ∴ = 2
由上面二、对算术平方根的定义的举例理解，引申拓展得：=
2、∵ 22=4 ， ∴ 4的算术平方根是2，即 =2 ∴ （）2=4
由上面二、对算术平方根的定义的举例理解，引申拓展得：（）2= a≥0
六、二次根式的乘法法则、除法法则
∵ × =2 ×3=6 ， ==6
∴ × = ，= ×
同理，由上面二、对算术平方根的定义的举例理解，引申拓展得：
× = ，= × （a≥0，b≥0）
= , = （a≥0，b>0）
七、平方根的符号表示
由平方根的定义知，如果 x2= a ，则 x=± ，显然，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。用算术平方根表示正的那个平方根，负的平方根是它的相反数。
八、降次解方程（直接开方法）
例1、若 x2= 25 ， 则 x=±=±5 （平方根的定义）
例2、若 （x+1）2 =25 ,x+1=± (用整体换元的思想)解得x1 =4,x2 =-6
作者简介：邱元兵，出生年月:1969.2，性别：男，民族:汉，籍贯:四川省广元市青川县，学历:大学，现职称:中一，研究方向:初中数学（部编人教版）。