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初中数学函数与几何综合题解题策略研究

发表时间：2020/6/18 来源：《基础教育参考》2020年5月作者：汪英

[导读] 初中阶段，函数与几何课程内容所占的比重很大，可以说，贯穿初中数学教学始末。顾名思义，函数与几何综合题的综合性极强，其所蕴含的知识很多，题目的类型多变，题目的形式也灵活多样，所以经常作为数学中考最后一道题目出现。函数与几何综合题也是一道可以选拔学生的大题，因其对学生综合要求更高，要求学生拥有计算、逻辑思维以及综合运用能力，因此教师应该重视此内容的教学。

汪英湖南省株洲市第十九中学湖南株洲 412003
【摘要】初中阶段，函数与几何课程内容所占的比重很大，可以说，贯穿初中数学教学始末。顾名思义，函数与几何综合题的综合性极强，其所蕴含的知识很多，题目的类型多变，题目的形式也灵活多样，所以经常作为数学中考最后一道题目出现。函数与几何综合题也是一道可以选拔学生的大题，因其对学生综合要求更高，要求学生拥有计算、逻辑思维以及综合运用能力，因此教师应该重视此内容的教学。
【关键词】初中数学；函数与几何综合题；解题研究
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2020）05-100-01

        引言：函数与几何综合题所蕴含的知识点比其他题目要丰富，对学生来讲，解题难度会有所提升，但是学生在解题时只要掌握常见的思路，就可游刃有余。数形结合和化动为静等思想通常可以被利用，学生可以利用其中之一或者是结合几种思想进行解题。
        一、解答函数与几何综合题时，学生应该具备的能力
        学生具备以下条件方能完成解答，对基础知识的掌握是学生解答函数与几何综合题的基础，只有拥有基础，才能应付这类题目。
        其次是学生的审题能力应当要很好，不然会导致看不懂题目的现象发生。这类题目的题干信息很多，一般会设置2-4个问题，虽然说题目之间有联系，但是下一个题目的难度往往更大，对学生来说，在规定的时间内理解题目要求并清楚题目间的联系存在困难，一般情况是学生提取不了题目已知条件，解答失败。所以在实际教学中，审题能力的培养具有必要性，在讲解例题的时候，不能让学生直接解题，要引导学生提取题目有用信息并且标注，这种示范作用可使得学生获得剖析问题的能力。
        再次是学生要具备转换数学语言的能力。这类题目所涉及的数学语言极其丰富，像几何图形等，学生只有成功转换这些数学语言，才能提取题目信息，进而进行解题。而在授课中，教师要加强转换数学语言的训练，让学生可以把几何图形等数学语言转换成数学式子。
        最后是学生要具备转化问题和挖掘隐含信息的能力。函数与几何综合题的形式具有多样性特点，在解答此类题目时，仅仅运用一种方法基本上是不可能的，而学生也不可能把每一道题目都熟记于心，所以教师能做的就是引导学生把没有遇见过的题目转化成自己熟悉的问题，这要求教师要在学生训练后，进行总结，进而让学生形成自己的知识体系。长此以往，学生的解题思路会更加开阔。教师还要让学生进行挖掘隐含条件的训练，因为在函数与几何综合题中，隐含信息一般在几何图形中展现，如果学生无法获得，就可能完成不了解答。
        二、函数与几何综合题的解题策略
        函数与几何综合题的类型大致可以分为两种：一类是函数图像中的几何图形问题，几何之间的函数关系构成了第二类问题。在对两大类问题进行解答时，以下解题策略可帮助学生解答。

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        1.数形结合方法是解答函数与几何综合题的一种技巧
        在湘教版初中数学中，“数”与“形”可以辩证统一，具体体现在：“形”的模糊可以由“数”准确表达，“数”的计算可以通过“形”进行启迪，在运用数形结合思想解答解答函数与几何综合题时，要记住通过图形联想得到图形性质，进而通过性质获得相应的图形，达到简化题目的目的。
        图1
        例如，如图1，O为圆的中心，B、A是半圆上的两点，半径为3，F点是BA延长线上的一个点，并且A到B的距离等于A到F的距离，若P在线段AF上运动，且P不与A重合，EP为半圆的一条切线，C为切点，∠E=90°，若C到A的距离为X，AC+BE=Y，试求AC的取值范围以及Y与X的函数关系式。
        解析：这道综合题把函数与多种图形结合，如半圆、直角三角形等。解题时，由切线联想其性质和相关定理，看到切点C以及直径，学生应能联想圆周角，把B、C两点相连，构建另一个直角三角形。根据相似三角形定理，建立比例式，最后结合勾股定理解决问题。想要得到Y与X的函数关系式，可以从图形的性质联想到线段关系，关系确立之后，变量间的关系就能被确立；求A、C两点距离时，应该要想到极端取值法，求出相应的极值，做到这里还没有结束，最后一步是结合实际与已知条件，进一步确定X的取值。
        2.运用方程的思想进行解题
        在湘教版初中数学中，可以利用方程思想进行函数与几何综合题的解答，所谓方程思想就是变量关系能被应用，把已知方程以及未知方程进行结合，最后通过解方程使得问题解决。运用这种思想，考验的是学生挖掘隐含信息的能力。
        例如，如图2，A点横坐标值为28，B点的纵坐标为28，P点的速度是每秒三个单位长度，其P从O向A点运动，可以运动的直线EF的速度是每秒1个单位长度，并且X轴与EF之间是平行关系，F、E点是EF与AB和Y轴的交点，P与EF开始运动的时间相同，并且都运动了t秒。若梯形OPFE和三角形APF的面积恰好相等，求O点到P的距离。
        图2
        解析：解决这类问题时，可以用过建立方程来求线段的长度，让AP、OP和BE都可以建立与t相关的式子，学生可以联想到相似相似三角形的判定及性质，得出BE与EF的关系，然后通过面积相等建立等量关系，进而求得OP的长度。
        3.运用转化思想进行解题
        函数与几何综合题具有综合性的特点，要想完成解答，学生应擅长应用转化思想，要转化的方面有很多，如新旧知识的转换、已知和未知的转换等。其实，以上两道例题都用到了转化思想，两道都把抽象的问题转换成具体的等量关系，所以说，转化思想可帮助学生正确、全面的解决此类问题。
        结束语
        总而言之，此类题目涉及的知识具有广泛的特征，像上面所提到的方程、坐标系、函数等，并且这种题目的创新性很强，所以学生在解决问题时，要自己建立关于这类题目的知识体系，之后就是形成数形结合和转化等思想，因为解题方法不固定，所以培养学生解题思路才是教学的关键。
参考文献
[1]廖晓青.函数几何相融合，分步突破建思路——对一道函数综合题的突破与思考[J].中学数学,2020(08):60-61+70.
[2]张维茂.对一道函数综合题的突破与反思[J].数学教学通讯,2019(35): 82-84.
[3]王秀英.识图中寻找思路画图中解决问题——以“一次函数与几何综合题复习教学”为例[J].上海中学数学,2019(11):20-23.
[4]朱刚.初中数学函数与几何综合题解题策略研究[J].中学数学,2019 (20):76-77.