【摘要】： 二次函数作为初中数学的一个重要知识点，一直以来都是中考的热点问题,近几年来有关二次函数的题型大量地出现在不同省市的中考压轴题中.有关二次函数的综合性题型，能考察学生函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等，技巧性和综合性较强，它对学生的阅读、理解、分析、判断、推理及思维灵活性等能力要求较高.因此，二次函数是中考压轴题的热门题型.
【关键词】： 二次函数；中考压轴题；中考热门题型；数学思想
二次函数是初中数学知识的重点和难点之一.将二次函数与几何图形、一次函数、圆等知识相结合的题目技巧性和综合性较强,能考察学生综合运用知识的能力；二次函数在生活中的运用能考察学生运用数学知识解决实际生活的能力.因此这类题目受到中考命题者的青睐，近年来成为各地中考压轴题的热门题型.
1 二次函数的重要知识点
要灵活的运用二次函数解决问题，首先必须牢牢掌握好二次函数的重要知识点.
1.1 二次函数的概念
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（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧.
（4）常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于（0，c）.
1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）已知抛物线上三个点的坐标，求抛物线的解析式.采用二次函数的一般式，即设解析式为
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，把三个点的坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解此方程组即可求出抛物线的解析式.
（2）已知抛物线的顶点坐标和另外一个点的坐标，求抛物线解析式.采用二次函数的顶点式，即设抛物线解析式为
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(a≠0)，先把顶点（h，k）代入；再把另一个点代入即可求出抛物线的解析式.
1.5 用配方法或公式法将二次函数由一般式化为顶点式
由于二次函数的顶点式可以直观的得出二次函数的大致图像、抛物线的对称轴、顶点坐标、最值和增减性，所以在解题过程中往往需要将二次函数由一般式化为顶点式.
2 二次函数在中考压轴题中的应用
2.1 二次函数与几何图形相结合的压轴题
将二次函数与其他几何图形相结合的综合题是近年来中考的热点试题之一，此类试题不仅可以考查学生的二次函数和平面几何的基础知识，还可以考查学生的数形结合思想、分析推理能力等.
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评注：（1）问中，利用二次函数图像的对称性，结合菱形的性质、勾股定理和全等三角形的知识即可求出A、B、C的坐标.
（2）问中，主要考察学生二次函数解析式的求法，本题既可利用二次函数的顶点式也可利用一般式求解，由于用一般式求二次函数解析式需要求解三元一次方程组，故优先选择顶点式.
（3）问中，考察学生对于抛物线运动变化的理解，从抛物线上任意一点的移动情况就可以看出整条抛物线的移动情况.
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2.2 二次函数与一次函数相结合的压轴题
二次函数与一次函数是初中最重要的两种函数，将这两种函数相结合，能考察学生综合运用函数知识解决问题的能力，此类问题中再加入动点问题和三角形的有关知识，对学生的阅读理解能力、收集处理信息能力等综合数学能力要求更高，是中考压轴题的常见题型.
例2.（2011?湘西州）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B和点C的坐标．
（2）求直线AC的解析式．
（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．
（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B向A运动（不与B，A重合）；同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？
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分析：
（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标；令x=0求得抛物线与y轴的交点坐标．
（2）利用已求的A、C两点的坐标根据待定系数法可求得一次函数的解析式．
（3）因为M是第二象限内抛物线上的一点，设M的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后表示出三角形的面积，解得即可．
（4）求△APQ的面积S与t的函数关系式，关键找出△APQ的底边和高，因为PB=t，所以底边AP=4-t，高是Q的纵坐标，可由等腰直角三角形的知识求得，再利用二次函数的最值可求出△APQ的面积的最大值．
解：（1）令﹣x2﹣2x+3=0，解得 x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；
（2）易求直线AC的解析式为y=x+3；
（3）设M点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∵AB=4，M在第二象限， ∴ ﹣x2﹣2x+3＞0，
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评注：本题是二次函数与一次函数的综合题型，其中涉及到抛物线与坐标轴交点坐标的求法、二次函数最值的求法、一次函数解析式的求法和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析动点从哪里开始运动，动点的路径是哪条线段，将变化的线段用含t的代数式表示，问题即可迎刃而解.
2.3 二次函数与圆相结合的压轴题
二次函数与圆相结合的题目难度大，考查知识点多，可以考察学生运用知识进行严密推理和书面表达的能力，以及综合分析问题、解决问题的能力，各地中考常常作为压轴题进行考查.解决这类题目常用的思想方法有方程和函数的思想、数形结合的思想、分类讨论思想.
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分析：
（1）已知抛物线的顶点坐标求解析式，可设抛物线的顶点式，再把另一个已知点代入即可求出抛物线的解析式.
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评注：本题综合性非常强，其中涉及到的知识有二次函数解析式的求法、一元二次方程的解法、勾股定理、相似三角形、切线的性质、直线与圆的位置关系的判断、动态三角形面积的求法.考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力，试题由易到难，层层递进，具有一定的梯度，难度较大.
2.4 二次函数在实际生活中的应用的压轴题
二次函数在实际生活中应用非常广泛，它能客观的反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.近年来，考察学生应用数学知识解决实际生活的能力已经成为中考的命题趋势，因此，二次函数在实际生活中的应用常常在中考压轴题中出现.
例4.（2013贵州省毕节市）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设
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（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
分析：
（1）销售利润=每件商品的利润×商品的月销售量
=（30－20+上涨的钱数）×（180－10×上涨的钱数），
根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；
（2）利用二次函数最值的求法，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）令（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．
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∴售价为32元时，利润为1920元．
评注：本题是二次函数在实际生活中的应用，解题关键是抓住销售利润的求法，解题的突破点是得到月销售量；注意结合自变量的取值范围可求得相应的售价.
在中考前的复习中，我们要充分重视对二次函数的复习，要充分的理解二次函数的基本概念和基本性质，对于二次函数的解析式、图像和最值等中考常考的二次函数的知识都要在理解的基础上熟练的掌握，并在掌握的基础上学会对类似题目的举一反三的运用，在学习了基本知识的基础上，对二次函数还需要进一步的深入的学习，特别是二次函数与一次函数、反比例函数、几何图形相结合和二次函数的实际应用等题型，更是中考压轴题的热门题型.
【参考文献】：
[1]曹松峰. 例谈二次函数压轴题的解题思路. 中学生数理化 中考版. 2013年第6期
[2]徐成祥. 例谈2012年中考与二次函数有关的存在性压轴题. 中学数学. 2013年04期
[3]罗峻. 如何解决圆与函数相结合的压轴题. 数学教学通讯. 2012年10期
[4]范志坚. 二次函数与几何图形综合问题. 中学生数理化（初中版）（中考版）. 2007年11月