摘要：换元法作为数学发展的一个杠杆，是用一种变数形式取代另一种变数形式的方法，也是高中数学中一个重要的解题方法，不仅在函数、解析几何等多个模块中具有至关重要的作用，还对学生科学思维的发展具有积极的推进作用。因此，本文笔者以高中解析几何作为切入点，对换元法的应用展开研究。
关键词：换元法；高中数学；解析几何
换元的本质为转化，它能够将复杂的研究对象简单化，将隐含的条件显现出来。而解析几何作为高中数学的重要模块，是以代数方法研究平面几何问题的过程，包括直线与圆的方程、圆锥曲线等，这些内容都是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，由于这部分内容具有较强的抽象性，学生的抽象思维还未发展成熟，因此，学生在学习过程中，常常产生思维障碍，而换元法的引入不仅有助于打破学生存在的思维障碍，还能使学生开拓思路，并进一步内化数学思想，以保障学习活动的顺利进行。本文笔者对换元法的基本特点、意义以及在解析几何中的应用进行分析。
一、换元法的基本特点
换元法是通过引入一个或者几个新的变量来代替原来的某些变量找到问题的解决途径，再返回求原变量的过程。使用换元法既要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，又需要注意换元后重新变量范围的选取。此外，高中数学所运用的换元法主要包括：整体换元、三角换元、均值换元等，它们的应用较为广泛，在求函数的值域、解析几何等方面都有突出的体现。
整体换元可以达到简化问题的目的，当然有时候要通过变形才能发现。三角换元主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。均值换元法解数学题的关键在于适当引入新的变量，通过代换达到减元的目的，从而使问题得以简化。但在具体问题中，换元的形式多种多样，追究其本质，是从“通过换元使形式更凝练、通过换元改造难以处理的形式”这两个角度针对性地选择换元方式。
二、换元法研究的意义
换元法是一种数学思维方法，也是落实素质教育理念的一项内容。受传统的教育理念的影响，学生的学习以单纯的记忆和模仿为主要形式，以提高应试能力为主要目的，这样对学生思维的发展和长期的学习活动都会造成不利影响。而有效的学习是以打破过于强调考试分数、突破应试教育的围墙而展开的，不仅需要学生对数学知识学懂会用，更重要的是学生产生需要发展科学思维，形成迁移能力，并将数学课堂学习中的方法运用解决实际问题的过程中，从而实现“学以致用”。
换元法还是培养学生学习能力的需要，这种思想在学生整个认知活动中起着计划、控制、调整的作用，不仅使学生能够有意识地发现自身的不足，还对培养学生的学习能力具有引领作用。但换元法的难点关键是如何做出合理又正确的变量代换，因此，教师在教学中，应多运用启发式，注意学生的思维过程，从而使学生逐渐形成解题的技巧，并培养他们的逻辑思维能力。
三、换元法在解析几何中的应用
换元法作为解决解析几何问题常用的方法之一，是学生高中阶段需要掌握的基本方法，也是培养学生抽象逻辑思维能力的关键依据。而高中解析几何研究的基本问题主要分为几类，即：圆锥曲线方程、轨迹方程、圆锥的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、定点和定值问题、最值和取值范围问题等，此外，学生在实际解决这些问题时，较为复杂，而换元法恰恰能够有效地解决某些问题。由此，针对以下五种基本问题来探讨换元法的应用。
1、解决直线和椭圆的位置关系
如问题：直线与曲线的公共点个数为多少？针对这一问题，首先可以将曲线方程化为，再运用换元法将转化为，即：，则y=3kt，从而得出t=和圆或，显这两个圆的圆心为（1，0）和（-1，0），圆心到直线t=的距离小于圆的半径1，得出直线与曲线的交点有四个。
因此，在这个问题中引入t这一变量，可以巧妙地将带有k和y两个变量的分数运用t这一个变量来表示，并把椭圆方程转化为了圆的方程，将直线与椭圆的关系转化为直线与圆的关系，再通过圆的方程，可显然的看出圆心为两个，从而自然地找到直线与曲线方程交点的个数。
2、解决圆锥曲线的最值问题
对圆锥曲线的最值问题或取值范围问题，常转化为函数的最值问题，当函数解析式较为复杂时，常用换元的方式进行转化。如问题：等腰直角三角形AOB内接于抛物线（p>0），O为抛物线的顶点，OA和OB互相垂直，三角形AOB的面积为16，抛物线的焦点为F，若M为抛物线上的动点，则的最大值为多少？分析这道题时，首先找出已给出的条件，然后解决问题时，可设A点的坐标为（a，a），由三角形的面积公式，求得a=4，此时，知道A点的坐标为（4，4），再将点A代入抛物线中，求得p=2，则抛物线的方程为，所以F点的坐标为（1，0），于是设点M的坐标为（x，y），则，此时，运用局部换元法将带x的式子用t来表示，即：t=，需要求出的便可用只含有t的式子来表达，从而得出，因此最值为。
3、解决圆锥曲线的取值范围问题
如问题：实数x，y满足，若x+y-k>0成立，求k的取值范围。分析这道题时，首先分析已知条件，能够看出它与具有相似的地方，已知=，然后可运用换元法中的三角代换，将转化为，同样的，将转化为，即：，再将其代入不等式x+y-k>0中，得到，即：，因此，当k<-5时，x+y-k>0成立，本题运用了换元法中的三角代换，首先将k的取值范围转化为了含参三角形不等式恒成立的问题，再次转化为三角函数求值域的问题，从而求出了参数范围。一般地，三角代换经常用来解决圆、椭圆、双曲线方程的代数式问题。
4、解决椭圆的中点弦直线方程
如问题：已知椭圆，定点p（m，n）在椭圆内，其中m乘以n不等于0，求以p（m，n）为中点的弦所在的直线方程。本题可以运用韦达定理或者点差法来解决，但这两种方法计算过程较为复杂，因此，可运用换元法将椭圆方程转化为圆的方程，再运用圆的性质轻松求解。具体解析过程为：令，，则椭圆内的定点p就可转化为，从而所求问题转变为内以为中点的弦所在直线方程。所以，以为中点的弦所在直线的斜率为，弦所在直线的方程为，化简可得。
5、解决轨迹方程问题
求动点轨迹方程问题可运用坐标代换法，即：求“随已知曲线上的点的变化而变化的动点”的轨迹方程。具体的解题步骤为：首先设动点为（x，y），已知曲线上的主动点为，然后求出用x，y表示的表达式，最后将代入已知曲线方程，化简后求得动点的轨迹方程。如题目：已知椭圆方程为，过定点p（0，3）作直线AB、CD，分别交椭圆A、B、C、D、AD的中点M，已知，求点M的轨迹方程。本题可通过坐标线性变换，将转化为圆中的，则圆中就多增加了两条弦相互垂直这一条件，给问题的解决带来了很大的便利。
综上所述，换元法不仅是一种科学的方法，还是一种数学思维方式，对解决结构以及数量关系复杂的问题起到推波助澜的作用。学生在高中数学学习过程中，由于他们缺乏换元的意识，对换元法还未能熟练使用，导致他们在解决解析几何问题时无从下手，而换元法能够为解决解析几何问题提供有力的保障，提供给学生找到解决问题方法的新思路。因此，教师作为教学的研究者，应转变传统的教育理念，不能只注重学习内容的掌握，而要重视学习方法的不断渗透，以强化学生对换元法的认识，并使学生灵活掌握这一方法，从而发展他们的数学思维，并获得可持续发展。
参考文献：
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