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习题课中融入数学文化的策略?

发表时间：2020/6/28 来源：《教学与研究》2020第6期作者：卢涛

[导读] 习题课教学的总体原则就是“温故知新”。“温故”是基础，“知新”是根本！

四川省都江堰中学卢涛

【摘要】习题课教学的总体原则就是“温故知新”。“温故”是基础，“知新”是根本！本文以圆锥曲线的习题课为例，谈习题课中融入数学文化的一些策略：挖掘概念内涵，凸显概念的多元表征；体验数学之美，彰显数学的美学价值；探究数学名题，彰显数学的文化价值。
【关键词】数学文化融入习题课
        习题课是数学教学的一种常规可课型。其目的就是建构单元（或章节）知识网络，加深知识理解，提炼数学思想方法，培养学生的数学核心素养。习题课的关键是问题的设置，选择的问题要有助于学生加深对概念的理解，有助于思维能力的提升，有助于数学思想方法的深化，有助于数学文化的融入。本文以圆锥曲线的习题课为例，谈习题课中融入数学文化的一些策略。
        一.挖掘概念内涵，凸显概念的多元表征
        概念本质属性称之为概念的内涵，定义就是揭示概念内涵的常用方式。有些概念的本质属性内涵比较丰富，选择不同的本质属性就会有不同的定义方式。同一概念的不同本质属性，其表征也是不同的。挖掘概念内涵，凸显概念的多元表征是习题课的任务之一。

（4）式给出了椭圆的又一本质属性，即：椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）距离的之比是一个常数（）。

        （5）式表明：椭圆上动点到两焦点的距离之积与它到椭圆中心距离的平方之和等于常数。如果把焦半径公式（5）式可得：类比“连接圆上的点与圆心的线段叫做圆的半径”，我们定义“连接椭圆上的点与椭圆中心的线段叫做椭圆的半径”，那么（6）式给出了椭圆半径的计算方法，它只和该点的横坐标有关。
        教材上反映椭圆本质属性的问题还很多，如例3、例2、P42练习第3题、习题2.2第7题等，这里不再一一赘述。
        二.体验数学之美，彰显数学的美学价值
        对美表达有很多词汇，如优美，柔美，秀美，壮美，俊美，不同的词汇反应了人们对美的不同理解和感受，反映了美的多样性。数学美也是多种表达，如简洁美、对称美、和谐美和奇异美等。
        椭圆、双曲线包含对称之美，它不仅直观反映在图形上，既是轴对称图形，也是中心对称图形。同时还反映在式子结构式上，以替换，方程保持不变；以替换，方程保持不变；同时以替换，以替换，方程保持不变。对称美除了反映在数与形上，还反映在条件与结论的对称，如根据椭圆的定义，满足在平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。反过来，椭圆上任意一点到两焦点的距离和为定值。
        圆锥曲线的简洁之美反映在标准方程的表达，和谐之美蕴含在概念的本质属性的多元表征，奇异之美体现在光学性质之中。数学之美不仅具有美学意义，它还具有方法意义。

        三.探究数学名题，彰显数学的文化价值
        数学名题是在数学发展历史长河中形成，并对数学发展、数学应用和数学教学方面起过或仍起着重要作用的数学问题。充分利用数学名题，彰显数学的文化价值，是习题课中融入数学文化的又一体现。
        如平面内，到两定点的距离之和为定常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆；平面内，到两定点的距离之差和为定常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。那么（1）平面内，到两定点的距离之比是定常数（不等于1）的点的轨迹是什么呢？（2）平面内,到两定点的距离之积是定常数的点的轨迹又是什么呢？这个过程中，首先体现用类比的方法提出问题，从问题的呈现来看，构成了一组和谐的命题系；然后组织学生研究，培养学生研究问题的能力，最后再介绍问题历史的背景：问题（1）就是著名的阿波罗尼奥斯圆，问题（2）是典型的卡西尼卵形线。
        卡西尼法国籍天文学家和水利工程师，是第一个发现土星的四个卫星的人。卡西尼卵形线是他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。1675年他发现土星光环中间有条暗缝（史称卡西尼环缝），他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。

综上所述，习题课教学的总体原则就是“温故知新”。“温故”就是巩固阶段所学的知识、技能和数学思想方法，“温故”是基础，“知新”才是习题课的根本！充分发挥学生的主体作用，通过引导、点拨使学生对所学的知识能够进行系统的整理，使之形成一个较完整的知识体系。使学生已有知识、技能和数学思想方法进一步深化与创新，思维的深度和广度有所突破，原有经验得以积淀与凝炼，数学文化素养有所提升。