四川省都江堰中学 刘云
【摘要】为了从根本上扭转概念教学中“四重四轻”的现象，在数学概念课教学中恰当的融入数学文化，能丰富数学概念的文化底蕴，改善数学概念教学枯燥无味的现状，也能让学生了解概念的产生和发展过程，有利于对概念内涵和外延的真正掌握。融入的基本方法是：创设情景，在概念形成中渗透科学精神；回顾简史，在概念的发展中渗透人文精神；推导方程，在推导的过程中体验数学方法。
【关键词】椭圆 融入 数学文化
数学概念是反映数学对象的本质属性的思维产物，它是推理和论证的基础，是数学思想与方法的载体。“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也!”（ 李邦河院士）。但在概念教学中普遍存在“四重四轻”的现象，即重视概念记忆，轻视概念的形成；重视个体概念，轻视概念体系；重视直观理解，轻视本质联系；注重概念应用，轻视概念迁移。
一个概念的产生、形成、发展、丰富和完善必有其历史背景与过程。概念教学怎么玩？就是研究概念的的产生、形成、发展、丰富和完善的过程（包括数学家们在该概念过程的不同观点和方法），研究概念的内涵和不同的表征，挖掘概念形成过程中的数学思想方法和数学家们在该概念过程的不同观点与方法。概念教学不是简单的“一个定义、三项注意、马上解题”，而是要从文化的视角来认识概念，探讨如何在概念教学中融入数学文化。
一. 创设情景，在概念形成中渗透科学精神
一般说来，对于“有意义发现”的知识，不仅要解决“是什么？”，而且还要解决“为什么？”、“怎么办？”。创设问题情境，引导学生学生自觉主动的探索、研究客观事物属性，发现事物发展的动因及事物间的内在联系，从中找出规律，形成科学的概念。我们在椭圆概念教学时设计如下情境：
.png)
探索是数学精神的表现之一。第（1）问培养学生直观想象，当用几何画板演示出点 的轨迹椭圆（椭圆是学生熟悉的）之后,紧跟的第（2）探求动点 的几何属性，即探索椭圆的本质属性，既是具有培养学生理性精神之需要，又为抽象概括椭圆的定义作准备。引例的设计,既使学生认识椭圆的本质属性，又在“形”上出乎学生预料，两问结合，椭圆的定义呼之欲出。至此，引导学生抽象、概括椭圆的概念便水到渠成！[1]
二. 回顾简史，在概念的发展中渗透人文精神
我们起始课中了解到阿波罗尼斯改进梅内赫莫斯的做法，用一个平面去截一个对顶圆锥，当平面不与圆锥母线平行且只与一个圆锥斜截时所得到的曲线叫椭圆。这只是椭圆的一个生成方式，他并没有给出椭圆的严格定义，也没给出椭圆焦点的概念和定义。但阿波罗尼斯却对椭圆的性质作了深入的研究，他在《圆锥曲线》第3卷给出了椭圆的系列性质，其中第八条性质给出了椭圆的焦半径性质：椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值。
直到1579年，意大利画家蒙蒂(Monte, 1545～1607)把阿波罗尼斯推导椭圆的第八条性质改为了椭圆的定义：平面内,到两定点的距离之和为定长的点的轨迹是椭圆。改变了统治近1800年的“圆锥曲线是平面与圆锥的截线”的定义方式。.png)
这种定义方式为天文学的发展（特别是天体运动的研究）提供了有力的工具（如，开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳是椭圆的一个焦点）。蒙蒂的椭圆定义是一个创新，为椭圆画法提供了支持。也为椭圆性质的研究开辟了广阔的空间。尽管如此，蒙蒂对椭圆定义出来之后，并为得到及时的认可，因为大家比较认可的是古希腊人的平面截圆锥的事实。直到1822年比利时数学家旦德林（Dandelin）利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上作出椭圆截面的焦点，导出椭圆的焦半径性质，这才填平了古希腊圆锥曲线定义(截面定义)和蒙蒂（椭圆）定义之间的鸿沟。旦德林的做法是：在圆锥内放两个大小不同的球，.png)
这条截口曲线上每一点满足的数量特征抽象出这个数量关系。说明古希腊的截面定义和蒙蒂的定义是等价的。
三.推导方程，在推导的过程中体验数学方法
根据椭圆的定义求椭圆的方程这是椭圆研究的中心任务之一，也是椭圆内涵的延伸。笛卡尔在他的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637）附录《几何学》中指出，如果坐标系选择恰当，曲线的方程就会很简单。由此要求椭圆的方程，选择坐标系就十分关键，此处要引导学生总结建系的基本方法。在建系之后，
.png)
才出现，最先使用这种方法的是英国数学家萨尔蒙，随后英国数学家卡西、美国数学家纽库姆相继采用。而到了20世纪，在各国应用椭圆第一定义的教材中，推导时几乎都用了此法。究其原因，两次平方法虽然比较繁复，但却具有通性通法，即介绍了如何化简含有两个根式的一般方力一法.正是基于这样的优点，我国教材也一直采用该法. [2]
从历史的角度看，在“两次平方法”之前，有很多数学家还有很简单的推证方法。
【方法1】（洛比达的方法）
.png)
【注】洛必达称该方程用长短轴之比完美地表达了椭圆的性质，但他并没有把方程化成我们今天的标准形式。
【方法2】（斯蒂尔的方法）
.png)
.png)
【方法3】（赖特的方法）
.png)
【方法4】（Jackson、Robinson的方法）
.png)
【方法5】（俄罗斯的方法）
.png)
在不同方法的推导过程中，学生可以体念与数学家思维的碰撞，从而提升学生的学习热情和探索欲望。教学中可以引导学生自主探究推证的方法，同时注意评价式融入的使用.我们在教学中第1课时先按教材推证椭圆的标准方程，再利用1课时采用专题式融入的方式引导学生展开上述方法（1）～（5）的研究。另外,“两次平方法”还可以不移项，两边直接平方，注意式子的数据和结构，也是不难的！
综上所述，在数学概念中融入数学文化，可以借助数学文化厚重的内涵，发展学生数学思维，树立学生的数学意识，让学生体悟数学的人文精神，体会科学发现的艰难曲折的过程，体验数学探究的成功喜悦感.
参考文献:
[1]李军、沈西德，“导入”设计实践与认识[J].基础教育课程，2007.05：51
[2]沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J].数学通讯,2015.04:1-2