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“起始课”中融入数学文化思考与认识

发表时间：2020/6/28 来源：《教学与研究》2020第6期作者：罗佳

[导读] 每一章的第一节课，简称为章起始课。

都江堰市青城山高级中学罗佳

【摘要】每一章的第一节课，简称为章起始课。如何上好起始课？本文以“圆锥曲线与方程”为例，给出了起始课中融入数学文化的认识：介绍发展简史，体现数学的人文价值；提炼思想方法，体现数学的科学价值；强化应用感知，体现数学的应用价值；欣赏数学之美，体现数学的美学价值。
【关键词】起始课融入数学文化
        每一章的第一节课，简称为章起始课。起始课的主要目的是帮助学生了解本章学习的内容、地位、作用及其发展简史，唤醒并激励学生学习数学的兴趣和激情、启发学生思考，揭示与本章内容有关的人文背景、数学应用价值以及其中蕴含的数学基本思想方法，对培养学生的数学核心素养大有裨益，应当引起足够的重视.下面以“圆锥曲线与方程”为例，谈起始课中融入数学文化的思考与实践。
        一. 介绍发展简史，体现数学的人文价值
        数学史作为数学文化的重要源泉，蕴藏着丰富的哲理和数学思想、方法，承载了数学概念、方法和思想的起源与发展，展现了人类追求真理，勇于创新，献身科学的拼搏精神以及对社会、政治、经济和文化的影响。“不了解数学史，就不可能全面了解数学科学”“不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史”。
        通过章引言第一、二自然段，让学生了解圆锥曲线源于“倍立方问题”，将“倍立方问题”作“简化”的关键性人物是古希腊的希波克拉底,他把问题归结为:求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题:等价于方程,的解。其中变量为两条抛物线的交点或一条抛物线和一条双曲线的交点坐标。为了彻底解决这一问题,历史上出现了两种不同的路径：
        一条是以梅内赫莫斯和阿波罗尼斯的平面与圆锥相截的路径。梅内赫莫斯为了解决“倍立方问题”引入了圆锥曲线，他用垂直于圆锥母线的平面与圆锥面相截，当圆锥顶角分别为锐角、钝角、和直角时，就分别得到后来所称的椭圆、双曲线和抛物线，如图1。

        阿波罗尼斯改进梅内赫莫斯的做法，从一个对顶(直圆或斜圆)圆锥得到所有的圆锥曲线，并给它们以正式的命名。当平面不与圆锥母线平行且只与一个圆锥斜截时所得到的曲线叫椭圆，当平面与两个圆锥都相截时所得到的曲线叫双曲线，当平面与圆锥母线平行时所截得的曲线叫抛物线。阿波罗尼斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，对其性质展开广泛研究，其研究成果《圆锥曲线论》代表了希腊演绎几何的最高成就。
        另一条途径是以欧几里得和帕普斯为代表的比例定义。欧几里得（公元前3世纪）发现（但未证明）:平面上到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.后由帕普斯（公元4世纪）用几何法给出了证明，并指出了当常数小于、大于和等于1时，轨迹分别为椭圆、抛物线、双曲线。
        通过这个过程让学生体会数学是可以创造的，数学是不断丰富完善的，数学问题解决的方法是多样统一的。
        通过章引言第三自然段提供的信息，让学生了解解析几何产生的背景:16、17世纪天文学发展,哥白尼提出日心学、伽利略得出自由落体定律，特别是开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，物体斜抛运动的轨道是抛物线，这些远不是靠平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能解决的。而解析几何的产生正是源于对变量数学的需求，笛卡尔坐标法的产生源于他对数学哲学思考：任何问题数学问题代数问题方程求解,而不是传说中的蜘蛛织网或者是梦的启示。
        二.提炼思想方法，体现数学的科学价值
        解析几何的创立，笛卡尔和费马功不可没！但思考路径是不同的。笛卡尔引入变量的思想，用坐标表示点、用方程表示曲线，研究曲线的方程，使几何问题代数化，代数问题方程化；而费马则是从方程的解出发，研究以方程的解为坐标的点所对应曲线的性质。笛卡尔解决的是已知曲线求方程，费马则是通过方程研究曲线的性质，这正是解析几何基本原理的两个相反的方面！他们从不同的角度建立了代数与几何的联系，笛卡尔的研究表明曲线上的点的坐标都是所求方程的解，费马的研究表明以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，由此笛卡尔与费马珠联璧合地建立起了曲线与方程的理论。即在直角坐标系中，如果曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解之间建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。那么方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。
        由此解析几何的核心思想—数形结合思想就产生了，变量与方程的思想也就贯穿了解析几何的全过程。变量与方程的思想不仅反映了处理数学问题的核心，还反映了运动变化与相对静止的辩证关系，深刻影响着人们对待事物的观点与处理问题的方法。
        三.强化应用感知，体现数学的应用价值
介绍数学知识的实际应用、创设贴近学生的现实情境、设计合理的探究活动等，让学生感知圆锥曲线在现实世界的广泛应用以及与天文学、物理学等学科的密切联系，激发学生数学学习兴趣，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。如探照灯反射镜面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电厂冷却塔的外形线是双曲线,聚光灯泡、超声波碎石机等设备都是利用椭圆的光学性质而制造的；海上航行通常采用“双曲线时差定位法”来确定航船的位置；许多现代通信设备的接收器和发射器造型与抛物线有关……再如，传说在意大利西西里岛有个山洞，当时叙拉古的暴君杰尼西亚把囚犯关在这个山洞里，让他们超负荷的工作。囚犯们实在无法忍受，多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现。一开始囚犯们怀疑有内奸，他们相互指责、猜疑，但始终未发现告密人。后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状有些古怪，囚犯们在关押处说的话能被洞壁反射到狱卒所在的地方，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”。你能解开这个传说中的奥秘吗？它反映了圆锥曲线的什么性质？
        通过这些问题，使学生进一步认识圆锥曲线的特性和学习价值，明晰“为什么学？学什么”，充分体验数学的社会需要和应用价值，同时适时鼓励学生在后续对圆锥曲线性质的深入学习中，学会用数学的眼光看待世界，尝试利用所学的数学知识来解决实际问题。
        四.欣赏数学之美，体现数学的美学价值
        “哪里有数，哪里就有美”。圆锥曲线的数学美首先体现在对称和奇异上。介绍圆锥曲线图形时，就指出它所具备的对称美和奇异美。为了让这样的美体现的更充分、更强烈，可以选择著名建筑的图片，来让学生感受圆锥曲线所蕴含的数学美。如讲究对称的中国传统石拱桥，简洁而雄奇古罗马斗兽场，追求统一协调的美国白宫，标榜奇异的北京鸟巢等。教材在章头图为什么选用石拱桥呢？中国桥文化历史悠久，自古就有＂桥的国度＂之称，中国古桥的建筑匠心独运，许多桥是世界桥梁史上的创举，也是古代中国人民智慧的结晶。拱桥结构有板拱、双曲拱、箱型拱等，拱形有半圆、多边形、圆弧、楠圆、抛物线等。种类繁多的拱桥，不仅包含着大量圆锥曲线内容，也体现了圆锥曲线与物理力学的综合运用。由此，可以看出教材编写的用心良苦，这是对中国传统文化的一种浸润。
        而数学美中的统一美和简洁美，则是圆锥曲线中数学理性思想的体现。介绍圆锥曲线发展史时，应指出三种曲线多方面的和谐统一：它们都是平面与圆锥曲线的截线，都具有到定点的距离与到定直线的距离之比等于同一个常数的几何共性，都具有相似的光学性质，都可以是天体运动的轨迹。而圆锥曲线以坐标法为出发点，以曲线的方程和方程的曲线为源泉,在坐标建系时的对称性原则以及化简方程时所追求的结构统一、形式简洁,正是对数学简洁美的追求。
        在章节起始课中，要善于利用章头图和章引言，充分挖掘知识生成的文化背景和具有的文化内涵，发挥数学文化的人文价值、科学价值、应用价值、美学价值让学生在学习数学知识的同时充分领略数学文化之美，学会欣赏数学、阅读数学、交流数学和运用数学，最大效益地发挥数学文化的教育功能。