茅台学院公共基础教学部 李正波 刘琼
摘要:本文以高等数学中导数概念为例，研究基于HPM视角的高等数学教学实践.先介绍与导数相关的数学史，再给出导数的具体定义,学生可以了解导数概念的产生、发展和成熟的过程,体会发现问题并应用导数解决问题的思维，加深对导数概念的理解。
关键词:数学史；导数；切线
导数是极限(已学内容)的特殊形式，又是积分(后续内容)的逆运算,所以导数在高等数学中起着承上启下的作用,它几乎被应用到自然学科与经济学科的每个领域,并有利地解决现实生活中的问题.导数是从瞬时速度和曲线切线斜率的计算产生的，并可进一步处理和解决极大极小、最大最小等实际问题。
1.导数概念产生、发展和成熟的背景介绍
导数概念最早是法国数学家费马在1629年研究作曲线的切线和求函数极值的方法，并于1637年写的一篇手稿《求最大值与最小值的方法》中提出来的。
17世纪，牛顿、莱布尼茨等科学家在前人研究的基础上,从不同的角度研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为“流量”，称变量的变化率为“流数”，相当于现在的“导数”。其实质可概括为：重点既在于一个变量的函数，也在于自变量的变化与函数的变化的比的构成，还在于自变量的变化与函数的变化的比当自变量的变化趋于零时的极限[2]。
1750年,达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可用现代符号简单表示为：.png)
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1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义了导数：若函数 在变量 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，则使变量得到一个无穷小增量。
2.切线概念发展
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漫长的时间.要理清这个关系，需要梳理切线概念的形成和发展过程。
切线概念的形成过程，是一个由静态到动态的过程。它与求瞬时变化率、求函数的极大极小值等问题，是刺激微积分学发展的主要科学问题。
古希腊数学家曾为作曲线的切线做过尝试,他认为，螺线在给定点处的切线是落在螺线外与螺线只有一个公共点的直线:阿波罗尼奥斯用类似的方法讨论过圆锥曲线的切线等。但是，此时所有的切线的定义都局限于静态的观点——将切线看成与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧 (或不穿过曲线的“切触线”)的直线。古代与中世纪时期，中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,如郭守敬求月亮白赤道交点与黄赤道交 点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数")的问题,但是，此时东方学者以惯用的数值手段(“招差术”,即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率[3]。
直到17世纪，数学家相继发现和研究了一般曲线切线的不同的构造法，主要有:
(1)笛卡尔的圆法：.png)
他首先确定曲线在点 处的法线与 轴的交点 的位置,然后作该法线的过点的垂线,便可得到所求的切线。该方法记载于笛卡尔的《几何学》中，它本质上是一种代数方法，在推动微积分早期发展方面有很大影响，后期牛顿便是以此方法为起点踏上研究微积分的道路的。
(2)费马的虚拟等式法：费马在一封写给梅森的信中提出了这一方法，梅森将这封信转给了笛卡儿,从而引起了关于切线问题的热烈争论,因为费马这一求极大极小值的方法也可以用来求曲线的切线.
(3)胡德和斯鲁斯的形式算法。
(4)意大利数学家托里拆利和法国数学家罗伯瓦尔从运动学的角度考虑曲线的切线:将曲线看成动点的轨迹,将切线看成动点的瞬时运动的方向。于是，当一个点的运动是由两个比较简单的运动合成时，运动的瞬时速度就可以通过这两个比较简单运动的瞬时速度用平行四边形法则确定出来。该方法发展了利用瞬时运动的直观概念求切线的方法，但是只对一些特殊问题有效，不具有通用性。
(5)巴罗利用了“特征三角形”：实质上把切线看作是割线的极限位置[4],此方法已十分接近微积分基本定理。
切线为割线的极限位置，由这一思想产生的这类“特殊分式的极限”便是“导数”。
3.借助切线概念，引入导数概念
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注意：以上极限中，虽然 可以取开区间 内的任意数值，但在极限过程中， 才是变量，而 是常量。
实践表明，在导数概念教学中融入数学史，不仅有助于学生理解导数的概念,而且可以提高学生的学习兴趣。基于HPM视角数学教学，不仅可以教书，还可以育人。
[1]朱晓宁．HPM视角下导数概念的教学[J]．科技创新，2013，26：388—389．
[2][英]斯科特（著）；候德润，张兰(译). 数学史．北京：中国人民大学出版社，2010：147-171．
[3]李文林．数学史概论[M],北京:高等教育出版社，2011-02：144—153．
[4]爱德华．微积分发展史[M]．张鸿林译. 北京:北京出版社，1987．