8＝9，看到这个“等式”，相信您会忍不住发笑：这可能吗？任何稍有数学常识的人，都会发笑，一点都不奇怪。到底是怎么发生的呢？难道会有什么秘密不成？让我用下面的问题为你揭密.
题目来自浙教版八年级上册第一章《认识三角形》，第一次月考题：
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方法一：
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（2）如图4，作DQ∥AC交BE于点Q，
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还是8＝9！从数学角度来看，这是不可能发生的，但看看这些解法，都没有错！这种貌似正确，又明显与数学原理或数学逻辑相违背的结论，乍一看，反驳起来还比较困难，这样的命题，就是悖论。上面的问题既然是悖论，肯定是假命题，到底错在哪儿呢？怎么反驳呢？
其实细心的您从两个不同的解法可以看出些端倪来：
方法一，充分使用了两个已知数据2和6，以及线段的比例关系，仅仅只使用八年级学生的知识，即三角形的面积比与线段比的关系；
而方法二，通过相似和平行线分线段成比例，分别得到F分AD和分BE所得比例，然后使用数据2得到一次面积值，又使用6得到一次面积值！这就是说方法二（1）中条件“＝6”是多余的，而方法二（2）中条件“＝2”这个条件是多余的！于是作以下简单的探究：
探究一：去掉条件“＝6”，八年级学生还能做吗？
探究二：去掉条件“＝2”，八年级学生还能做吗？
实际上这两个探究是同一个问题，解法比较简单都是借助参数即可
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根据以上解法，既然所得结果不一样，又是在分别孤立的条件求得结果8和9，充分说明：这两个条件其实是多余了一个，即，条件“＝6”和“＝2”是不能同生共存的！同时也说明：这两个三角形面积之间肯定不是3倍关系！对本题目的修改建议：删掉其中一个条件，答案就能唯一。那么“”和“”有什么数量关系？！结合探究二，做如下简单的研究即可.
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真相大白，悖论的出现：主要原因是这两个三角形面积的比例关系！
在原三角形中，除要求的三角形面积之外，还有一个四边形面积，有必要进行如下的研究，把它们的关系全部整理如下：
探究四：如图7，点D、E在两边上的位置不发生变动的时候，只要知道图中任一个三角形的面积，其它的三角形面积均可求出.
这个悖论引起的问题，已经全部解决，最后，有必要把这个结论推广到一般情况.
探究五：如图8，变动D、E的位置，普及到一般情况：若，，其中、均为大于0的常数，求 .
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后记：这个悖论的出现，主要是因为数据的多余，或者说是数据错误造成的，如果我们教师很清楚这些面积的关系，这是可以避免的.其实，在我们教师的实际教学中，难免会出现这种情况：为了说明一个问题，举个具有实战价值的例了，而例子中的数据有时未必经得起推敲，这是正常不过的事情。教学过程中，如果故意设置这样的错误，我觉得，这不仅仅可以检测学生上课的专注度和学习的深入度，还能够引发学生探究：更正为科学合理的数据，也能够提高学生质疑的能力。但是，考试中是不能出现这种情况的，因为这不仅仅是浪费学生的时间，还在考试的过程对学生的心理进行了折磨.当然我们做老师的，应该多研究这种现象，对我们自身教学水平也会有一定的提升。
但是，做为数学问题本身，存在悖论就是存在“缺憾”，却在不经意间给匀提供了研究的空间，让数学的数之美、形之美，能够真真实实展现在意料之外，而又在教材允许之中，这对学生来说，往往可以成为激发他们学习兴趣的导火索，在探究的过程中，获得逻辑推理带来的愉悦，甚至是兴奋，这不正是我们老师最喜欢的现象吗？
题外话：如图9显示的是一个边长为8的正方形，分成两个直角三角形和两个直角梯形（如图9左），然后重新拼接成一个边长为5和13的矩形（如图9右），于是有了一个“漂亮”的结论“64＝65”（现在网上也有相关解答和论述）.
这是很多年前，在我校图书室的一本《中小学数学》杂志上，看到过的问题.记得那里很兴奋，刚好 我教的是八年级，展示给学生以后，他们觉得好神奇.当有学生提出怀疑的时候，我说这是一本杂志上登的，会有错？后来同学们有种受骗的感觉，很鄙视我的盲从.第二天有学生拿着自己做的纸板模型：“看，中间有一个小小的狭缝，应该就是1吧”……在后来的数学课上，我表扬这个孩子的做法，然后郑重其事的就：“这就是悖论！”还给他们讲了关于苏格拉底先生与自己朋友开玩笑的悖论故事，孩子们兴趣大涨，感觉数学怎么这么有意思呢，以前怎么没有发现！当同学们说除了这种操作的方式，还有其它方法吗？“用相似可以证明三点是否共线问题！”后来短短的两周时间，竟然有大批的学生自学完九年级上册“相似三角形”这一章，而且有好多孩子来跟我探讨如何用相似解决三点共线问题……
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