册亨县民族中学 贵州 黔西南 552200
【摘要】为了解决部分数学老师用统一定义在《几何画板》软件中绘制圆锥曲线的困难，笔者用三种不同的绘图原理，给出了在《几何画板》中如何利用统一定义绘制圆锥曲线的具体步骤和使用方法，使学生掌握三种类型圆锥曲线的之间的联系及离心率对圆锥曲线的影响。
【关键词】几何画板；统一定义；圆锥曲线；绘制方法
圆锥曲线的统一定义，揭示了不同种类的圆锥曲线的内在联系，使焦点，准线，离心率等构成了一个和谐的整体，恰当而灵活地运用圆锥曲线的统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事倍功半的作用。教学中，笔者发现了两种利用圆锥曲线统一定义绘制圆锥曲线的方法。
一、绘图方法1：
绘制原理：相似三角形的对应边成比例。
绘图步骤：
第一步：建系，构造焦点和准线。
（1）打开《几何画板》，单击绘制→定义坐标系，单击右键选择隐藏轨迹，得到平面直角坐标系。
（2）在x轴上任取一点F作为焦点，双击y轴标记为对称轴，选中点F,执行变换→反射,得到点K，选中点K及x轴，构造垂线 作为准线。
第二步：新建参数e作为离心率，并改e的值为2。
第三步：构建参考线段。
（1）构造线段AB，并度量A，B两点的距离，选择数据→计算：AB距离÷e的值，并改标签为AC。此时有AB÷AC为离心率e。
（2）在平面内任取一点D，构造两条过点D的直线m，n。
（3）选中点D及AB距离度量值构造圆与直线m交于点E作为驱动点,选中点D及AC的值构造圆与直线n交于点G，构造线段EG。此时，AB=DE,AC=DG.
（4）在直线m上任作一点H,选中点H及线段EG，构造平行线交直线n于点I。
由于EG//HI，所以，△DEG与△DHI相似，所以，(DE/DG)=(DH/DI)=(AC/AB)=e.
第四步：根据参考线段构建形成圆锥曲线的从动点。
（1）分别度量点D,H和D,I的距离，选中点F及DH距离构造圆F,选中点K及DI距离构造圆K。
（2）选中x轴及圆K构造交点J,L，选中交点J,L及x轴分别构造垂线j，h。
（3）移动点F，使圆F分别与直线h交于M，N，与直线j交于点O，P。
此时，有M，N，O，P为够造圆锥曲线的从动点。
第五步，构造从动点轨迹，得到圆锥曲线。
（1）分别选中点M，N，O，P及点H构造轨迹，隐藏不必要的点线及度量值即可得出离心率e=2下的圆锥曲线。
（2）当输入不同的e之可以得到不同类型的圆锥曲线，选中参数e，按“+”，“-”可得出同种圆锥曲线形状随e的变化情况。
二、制作方法2：
绘制原理：三角形内角平分线性质定理
绘图步骤：
第一步：构造焦点和准线
（1）在平面内构建直线j作为准线及其线外一点A作为焦点。
第二步：构造圆F的两条切线
（1）选中点A及直线j构造垂线交直线j于点B，选中AB构造线段，在线段AB上任取一点C,选中点C及直线AB构造垂线k；在直线j上任取一点D作为驱动点，选中点D及直线j构造垂线l，选中直线l及直线k构造交点E,构造直线AD交直线k于点F。
（2）按顺序选中F,E构造圆F,有直线l为圆F的切线。
（3）选中AF构造线段并选中构造中点K，依次选中K,F构造圆K。选中圆K及圆F构造交点M,Q.分别选中A,M和A,Q构造直线AM和直线AQ。由于线段AF为圆K的直径，所以，构造线段FM,有直线AM与线段FM垂直，所以，直线AM为圆F的切线。选中直线AQ及直线l构造交点同理，直线AQ为圆F的切线。
第三步：构造离心率，利用角平分线性质定理及相似三角形对应边成比例，得出J,H运动轨迹即为对应离心率下的圆锥曲线；
（1）度量AC距离，度量BC距离，计算AC距离/BC距离，并改标签为e即为离心率。
（2）选中直线AM及直线l构造交点J,选中点J和点F构造线段JF.由于过点J的直线l及直线AM为圆F的切线，所以，在△ADJ中，线段JF为∠DJA的内角平分线，由三角形内角平分线的性质定理知：JA/JD=AF/FD,又因为△ACF与△ABD相似，所以，AF/FD=AC/BC。所以JA/JD=AC/AB=e，同理HA/HD=e。所以，J,H两点运动轨迹合在一起即为对应离心率下的圆锥曲线。具体步骤如下:
（3）选中驱动点D及从动点J构造轨迹，选中点D及点H构造轨迹，去掉不必要的图形元素，即可得到圆锥曲线。当改变点C位置，离心率会发生相应的变换，同时对应的圆锥曲线也会发生相应的变化。
以上《几何画板》课件，不但让学生理解了几种不同的圆锥曲线（即双曲线，抛物线，椭圆）之间的联系，也让学生形象地观察到同一类型的圆锥曲线形状随e值变化情况。让学生从本质上理解圆锥曲线，给教师的讲解带来方便，体现了《几何画板》课件在高中数学动态教学中的优势。
参考文献：
[1]张爱民.借助《几何画板》辅助圆锥曲线同一定义教学[J].数学通讯.2001年第23期.
[2]张洪杰.《几何画板》优化圆锥曲线统一定义教学浅见[J].数学通报.2001年第5期.
[3]潘锦明.灵活运用圆锥曲线的统一定义解题[J].考试．高考数学版.2012年01期53-54.