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三角函数的复数表示及在解决三角问题中的一些应用

发表时间：2020/7/7 来源：《新纪实》2020年第2期作者：曾令龙

[导读] 复数表示成三角形式，其乘法与除法、乘方与开方运算相当方便，反之，三角函数也可用复数来解释、表示，三角函数运算问题就可转化为复数的代数运算问题，因此用复数的方法来解决三角函数问题是一件自然的事情。

        黔南民族师范学院数学与统计学院贵州黔南 558000

        【摘要】复数表示成三角形式，其乘法与除法、乘方与开方运算相当方便，反之，三角函数也可用复数来解释、表示，三角函数运算问题就可转化为复数的代数运算问题，因此用复数的方法来解决三角函数问题是一件自然的事情。本文给出常用的三角函数、三角公式的复数形式，然后探讨其在解决三角问题中的应用。用复数方法求解三角问题，不失为解决三角问题的一种有效方法、途径。
        【关键词】三角函数；复数；复数表示；应用

        一、常用三角函数或三角公式的复数表示
        为了解决问题的需要，我们可导出下列三角函数的积化和差公式的复数形式。





        还可根据需要导出三角函数的和差化积公式，这里不再叙述。
        由此可知，三角函数或三角公式均可用复数表示，利用这些关系式可将三角问题转化为代数问题，然后借助代数知识解决三角问题应是一件顺理成章的事情。事实上，这些关系式在三角函数的求值、化简、恒等变形、解三角方程及反三角函数问题中都有广泛应用，下面举例说明。
        二、复数在三角函数中的应用
        （一）在证明三角恒等式中的应用


        （二）在求三角函数值中的应用


        （三）在解三角方程中的应用


        （四）在反三角函数中的应用



        三角函数的复数表示在解决三角问题中有极其广泛的应用，而且利用这些表达式解决三角问题时目标明确，思路清晰，容易掌握；尤其是在证明三角恒等式时更是如此，可将复杂的三角恒等变换化用较为简单的代数恒等变换代替。因此在解决三角问题时，若能巧妙的引入复数，利用三角函数的复数表示，那么三角问题就可化为复数问题，然后应用代数方法来处理，这种转化在许多情况下可起到化难为易、化繁为简、事半功倍的作用，这为解决三角问题提供了又一新的思想方法。

        参考文献：
        [1]十五院校协编组编《竞赛数学教程》：高等教育出版社，2002年4月.
        [2]陈永明《高中数学五星级题库》:上海科技教育出版社,1998年11月.
        [3]林炎生.中学数学课程辅导：《复数在中学数学解题中的应用举例》，2014年9月.
        [4]罗守山《初等数学》：人民教育出版社，2013年9月第一版.
        [5]何丽亚.江海洋.谢燕.《数学》（高等学校民族预科规划教材：西南交通大学出版社，2013年8月第一版.