基本不等式是人教A版必修五第三章的最后一节内容，因涉及放缩、转化、划归、数形结合等数学思想方法与处理技巧，一直是考试的“宠儿”。很多老师对该课的引入较“随意”，以为直接给出公式，让学生会用就成，殊不知，会用的前提是理解。数学是一门讲究逻辑的学科，我们得弄清楚一个知识点的产生、发展，才能联想到他的实用。
事实上，我们在初中阶段就学习了完全平方数：
如
像这样，一个实数经过平方运算得到另一个实数，我们发现实数可正、可负、可为零，实数则一定大于或等于零，即对任意，若，则，既是完全平方数是大于等于零的。
类似于向量的平面基本定理，我们知道：对任意实数，一定存在实数，使得，而且这样的不唯一，结合，可得：，打开移项有不等式：
,这里我们不妨记为不等式①
在不等式①的左右两段同时加项，有：
，化简为
，这里我们不妨记为不等式②
特别的当时，有：
，化简为：。我们知道，叫着实数的算数平均数，叫着实数的几何平均数，所以我们可将此式子记为:
，即：两正实数的算数平均数大于等于几何平均数，我们不妨将此式子记为不等式③
注：这里可让学生思考，如果实数不全是正实数时，又有怎样的结论呢？
我们发现，这三个不等式的推导均源于完全平方数的性质，他们分别从两实数的平方和与他们乘积的关系（①式）、两实数的和的平方与他们乘积的关系（②式）、两实数的和与他们乘积的关系（③式）三个角度对和与积的关系进行了研究，再细心一点，我们还会发现：在平方和、和的平方与积的关系都有了，好像还没有平方和与和的平方的关系，我们试着研究一下：
由，式子两边同时加，构造完全平方式，可得：
，即：，我们不妨将此式记为不等式④
如此，我们有如下四个不等关系式了。
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这4个不等式分别研究了两实数和与积的四种大小关系，为我们解题提供了机构特征和理论基础。在初中学习完全平方式时，我们知道，当且仅当式子中的实数与相等时，原不等式才能取等号，所以以上四个式子等号成立的条件均是：。（*）
显然，这四个不等关系均是通过放缩寻找和或者积的最值。我们分析：当时，式子①②③恒成立，即不等式左边的最小值就是不等式右边的最大值，要使得最值存在，则不等式的左边或者右边必须是定值（*），不然两边的值均随着的变化而变化，就不存在最值了。
综上分析:我们得出了前三个不等关系成立的条件，一：全是实数；二：不等式的左边或者右边取值为定值；三：当且仅当时，不等式左右两边相等（即此时，等号成立），对不等式④，条件一改为，为正实数。
下面我们分析他们在具体问题中的运用。
例.求函数的最大值.
分析：观察发现，这是普通的一元二次函数，我们马上联想到使用配方法结合函数的单调性求解。
上述方法肯定能求解的，但如果我们细致观察会发现，我们可以将此式看成实数与实数的乘积，如此根据上述四个不等关系，可将其转化为两实数的平方和或者和的平凡的关系，对比结构：利用不等关系式②可求解。
但是，不等关系式②中关系对等，且要求积或和之一为定值，此式与的和不是定制，那怎么办呢？我们要细心观察，大胆假设，合情演绎。如果我们给配凑倍数3，那么问题不是解决了吗？
所以，原式子变形为（一定不能改变原式大小）
，当且仅当3=时，即=时取等号。
得解。
数学是自然的，我们在推导知识生成，考量知识应用时均需从自然出发，回归本质。