[摘 要] 为研究军队院校指挥类本科学员的数学思维培养途径与方法，以高等数学(微积分)课程为例，分析了课程内容中蕴含的抽象、逻辑推理、直观想象等基本数学思维形式，给出了课程教学中注重概念教学、强化定理证明、启发思维过程、培养应用意识和树立数学哲学观等具体的数学思维培养策略。
[关键词] 数学思维;高等数学;课程教学;思维培养
1 引 言
数学课程自古以来在各层次学校教育中都占有极其重要的作用，其用途除了最基本的工具性作用外,更重要的是对人的全面发展、终身发展的推动作用。大学数学课程在军队院校生长军官本科教育中的作用是使学员掌握知识，掌握使用数学知识解决实际问题的思想、方法，养成定量分析的思维习惯，用数学的眼光认识客观世界，培养严谨的思维习惯、处事不惊的工作和生活态度以及永攀高峰的工作信念，为终身发展服务。所以，在大学数学课程教学中，培养学员的数学思维尤其重要。
“高等数学”(微积分)作为军队院校指挥专业本科生第一学期必修的一门重要的科学文化课程，里面蕴含着各种丰富的数学思维形式，是培养学员数学思维、提高数学素养的重要课程。“高等数学”课程的研究对象主要是函数，研究内容主要是微积分学，包括函数的极限、连续、导数、微分和积分。不论是课程的研究对象还是研究内容，都蕴含了丰富而具体的抽象思维、逻辑思维和直观想象等数学思维。
2 “高等数学”课程中的数学思维
2.1概念中的抽象思维
所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西提取出来，并加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性[1]。数学概念是对现实对象的数学关系和空间形式的本质特征反映，最能体现抽象思维，抽象思维是数学思维中最根本最基础的内容之一。抽象思维能力对人的发展非常重要，它能使人在面对错综复杂的现象时，分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本质，按部就班地、有效地思考问题、解决问题。高等数学课程中具有大量的数学概念，主要包括函数、极限、连续、导数、微分和积分等这些核心概念以及由这些核心概念衍生的其他数学概念。首先，函数作为高等数学的研究对象，是描述客观世界中两个变量之间关系的数学表达方式，是对自然界中变化现象的高度抽象。所以，高等数学的研究对象因其自身的高度抽象性，蕴含着抽象思维。其次，从课程内容体系的角度看，高等数学就是通过对函数的研究，来深入探究自然界中各种变化现象及其变化规律，把这些变化现象和规律抽象出来，就形成了极限、连续、导数、微分和积分等数学概念。具体而言，极限的本质是通过已知某个量的变化趋势，去研究和探索另一个变量的变化趋势。极限更是一种重要的思想方法，像连续、导数、微分和积分这些重要都是建立在极限思想基础上的。函数在某点连续的含义用数学语言表达是极限值等于函数值，其本质是自变量变化微小时，因变量的变化也很微小。函数在一点处的导数是增量比的极限，本质是在一点处因变量关于自变量的变化率。微分是函数增量的线性主要部分，其本质增量的线性近似。不定积分是导数的逆运算。定积分的本质实际上是“大化小，常代变，近似和，取极限”的思想方法。所以，不论是课程的研究对象还是研究内容，都蕴含了丰富而具体的抽象思维。
2.2定理、公式中的逻辑思维
数学中的逻辑思维是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的逻辑推理思维，形式有归纳和类比；一类是从一般到特殊的逻辑推理思维，形式主要是演绎。
高等数学中大量的公式定理，比如微分中值定理，泰勒公式，牛顿-莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式等，深刻反映了数学对象的属性之间的关系。公式和定理本身具有高度的抽象性，证明这些结论更需要严密的逻辑思维，分析与综合，分类与比较，归纳与演绎，抽象与概括等具体的思维形式。所以，证明数学定理和推导重要公式，需要动用思维系统中的各个成分，是一个错综复杂的，寻求、发现和得出结果的思维过程，经历这样的思维过程对于训练一个人的逻辑思维具有极其重要的作用。
2.3几何中的直观想象思维
直观想象思维是借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。直观想象思维对于军队指挥类院校培养优秀的指挥军官尤其重要，因为在未来战场中，面临错综复杂的作战环境，指挥军官需要通过直观想象思维在头脑中迅速形成准确合理的战争态势，为下一步做出战争决策建立基础。学习高等数学中的空间解析几何、微积分的几何应用等内容可以直接训练学员的直观想象思维。同时，大量的有关数的知识与问题都蕴含着数学结合的思想方法。比如像函数、导数、微分、积分等这些概念虽然具有高度抽象性，但同时又可以用图像法，或者通过它们的几何意义来理解这些抽象概念并且研究它们的性质，这些内容的学习同样可以间接训练学员的直观想象思维。
总之，高等数学以极限、连续、导数、微分和积分这些内容为主线，包含了大量的概念、性质、公式、计算和定理，以及几何知识。这些内容蕴含了抽象思维、逻辑思维、直观想象等基本数学思维形式，更包括了分类与类比，归纳与演绎、分析与综合、发散和逆向等重要的数学思维方法。那么，在课程教学中如何以知识传授为载体来培养学员的数学思维呢？
3 数学思维的培养策略
3.1注重概念的教学，培养抽象思维
数学概念是高等数学课程中一个重要的内容，概念的教学既是一个重点，又是一个难点。因为概念是撇开了事物外在的、偶然的因素，对事物本质的属性的反映，具有很强的抽象性。也正是这个特点，这些内容的教学对于培养学员的抽象思维培养至关重要。James Stewart在他编写的教材“Calculus”序言中指出：“The emphasis is on understanding concepts” [2]。而在高等数学的教学中，对概念的深入理解是学员学习的一大难点，学员往往不重视对概念的理解，把学习重点放在做题上。对概念理解不透的原因在于抽象思维能力较弱，难以建立起抽象概念和概念产生的背景之间的内在联系，从而不理解概念的的真谛，也就无法达到会运用自如的程度。
数学概念的教学，首先重视概念的引入，可以结合有关数学史，让学员明白概念的来龙去脉和历史背景，让学员经历概念产生过程，体会其中蕴含的思想方法。这样的数学概念教学，不仅解决了“是什么”的问题，更解决了“是怎样想到的”问题，以及有了这个概念之后，在此基础上又如何建立和发展理论的问题。其次，对概念的理解过程是复杂的数学思维活动的过程，在这一过程中，为了使学员正确而有效地理解数学概念，教员可以先创设思维情境，激发学员学习动机和兴趣，再对感性材料进行分析、抽象、概括而得到定义，再进一步引导学生对概念和定义的结构进行分析，明确概念的内涵和外延。这样既训练学生抽象思维能力，又有助于创造性的思维能力的培养以及科学研究方法的体验。
比如，在讲导数的概念时，从几何和物理的两个引例引入，让学员体会导数的产生背景，知道在解决哪些问题时产生的导数，这样既帮助理解概念，也培养应用意识。后面就是逐步分析如何运用数学知识，进行数学思维来解决问题。首先引导学员思考把一点处的切线斜率用该点附近的割线斜率来近似，把瞬时速度用短时间内的平均速度来近似，近似代替是一种数学方法，里面蕴含了转化的数学思维和思想。为了提高近似度，实现从近似解到精确解，就需要用到取极限的方法，从而得到问题的解，其中取极限的过程体现的就是逐步逼近的思维。然后运用抽象思维，对结果进行分析，找出两个问题的共性，抽象出二者本质，都是一个变量关于另一个变量变化快慢问题，即都是变化率问题，把这种差商的极限抽象成函数在一点处的因变量改变量和自变量改变量之商的极限，就是函数在一点处导数的定义。
3.2强化定理的证明，训练逻辑思维
人类的思维有两种模式，即收敛性思维与发散思维[3]。从已有的条件出发，借助于公理、概念（定义）、定理（定律）等，通过严密的逻辑推理得到我们所要的结论，这个思维过程就是收敛性思维。通过观察、分析、归纳、联想、类比等方法发现问题、提出问题以及寻找解决问题的线索和途径，这种思维过程是发散性思维。
经历高等数学中很多重要的定理和公式的学习过程，是训练学员逻辑思维（收敛性思维）和发散性思维的重要途径和手段。对于这些内容的教学，一方面要尽量创造条件，从感性认识和学员的已有知识入手，以调动学员学习定理、公式的积极性，让学员了解定理、公式的形成过程，并要设法使学员体会到寻求真理的兴趣和喜悦，另一方面，定理一般是在观察的基础上，通过分析、比较、归纳、类比、想象、概括成抽象的命题，这是一个思考、估计、猜想的思维过程。因此，定理结论的“发现”最好由教师引导学生独立完成，这样既有利于学员分清定理的条件和结论，也有利于学员创造性思维的训练。三是多设质疑，启发学员积极思考。在高等数学教学中，教员对某一问题的讲授可以从不同角度，不同方向展开，多设置一些疑问，让学员去思考，去解决、充分调动学生的积极性，以利于思维的发散。
3.3改变例题讲解方法，启发数学思维过程
例题教学是高等数学教学中一个重要环节，通过例题，可以帮助学员理解和掌握基础知识，培养能力，训练思维。但学员往往习惯于套用所学的定义、公式和定理，以求出答案为目的，结果仅仅是掌握知识，是为做题而做题。这就需要教员给予正确引导，树立正确的解题观，解题不仅仅是掌握知识的手段，更重要的是提高分析问题，解决问题的能力，其中的数学思维尤其重要。这就需要教员在讲解例题时做好示范，教员讲题的过程中的思维方式方法就是学员课后做题的模仿对象。假若教员直接告诉学员按照解题步骤，一步一步进行做题，就使得例题讲解仅停留在掌握知识的层面，缺乏对数学思维的培养。教员应该采用启发式教学，并且启发式的指向不是指向问题答案，而是指向思维过程和方法，这种启发是一种“过程启发式”，也就是在解答过程中，不要急于给出结果，而是引导学员通过自己的思维得出结果。
比如，在通过“求解牟合方盖的面积”这个例题理解巩固利用重积分求曲面面积的方法的过程中，教员示范启发思维过程，培养形象思维的做法是：首先引导学员读题，学会读出题目要解决的问题以及隐含的条件。该题目隐含的一个重要条件就是牟合方盖的空间存在形式，也就是两个直交圆柱面的位置关系，如果明确了位置关系，在头脑中形成位置关系草图，对后面求解至关重要。这时候教员不能把题目隐含的信息直接告诉学员，如果利用软件，直接呈现给学员美观形象的位置图形，学员就丧失了靠自己思维，形成和提高空间想象力的训练机会。二是指导学员审题，学会分析问题。就是根据读题所获得的信息联想相关知识内容，建立起他们之间的联系。该题就是引导学员迅速把空间解析几何的知识迁移过来，利用已有空间想象力，构建出牟合方盖的图形。三是指导学员解题，学会解决问题。就是引导学员把前面通过分析所得到的信息与本节课所获得的新知识联系起来，运用新知识、新方法解决问题。该题目最终需要用到曲面面积的求解公式，公式的使用有条件要求，需要明确曲面方程和投影面，学员要经过分析，利用图形的对称性，把整个面积的求解转化成第一卦限图形一半的8倍，最后套用公式求解。
3.4渗透建模思想，培养数学应用意识
通过数学教育教给学员的不仅仅是单纯的数学知识，更重要的是培养学员运用数学的意识，让学员养成定量分析的思维习惯。所谓用数学的意识，就是指用数学知识的心理倾向性。它包含两方面的意义：一方面当学员面临有待解决的问题时，能主动尝试用数学的立场、观点和方法寻求解决问题的策略；另一方面，当学员接受一个新的数学理论时，能主动地探索这一新知识的来龙去脉和实用价值，充分发展学员的主体意识的作用，其中数学思维将起到直接或潜移默化的作用，这就需要教员在教学中培养学员的数学观念和悟性。
一是在课堂教学中渗透建模思想和方法。在数学教学中，要加强学员应用数学的概念和能力，引导学员把实际问题抽象成数学问题，形成数学应用意识，培养学员的应用观念，增强学员使用数学模型解决实际问题的能力，就要理论联系实际，渗透数学建模的思想和方法，提高数学建模能力，比如改变教材中的例题或者习题，使之成为简单的数学建模问题，激发学员的探索热情，初步培养建模的思维意识。
二是采用任务驱动方法，针对一些重要的数学知识和方法，编写“应用案例”，在完成相关课程教学内容的教学后，将“应用案例”下发给学员。让学员带着任务，亲身经历分析问题、搜集资料、调查研究、建立模型、求解模型以及完成研究报告的整个过程，整个过程给了学员充分的思考空间，发挥创造性思维，提高把数学应用到实际问题的能力，从而提高数学思维意识。
3.5挖掘数学思维的哲学思想，培树辩证唯物主义的数学哲学观
数学与哲学关系密切，哲学史上的很多大哲学家，或者亲自研究数学的哲学问题，或者吸收数学哲学的最新成果，丰富自己的哲学观。古希腊时代的许多哲学家，大多又是数学哲学家。柏拉图认为“几何学可以将灵魂引向真理，并且创造出爱智的精神”，亚里士多德认为“数学和哲学是相同的”；而数学家毕达哥拉斯的认为“万物皆数”；爱因斯坦认为“一切科学的尽头是哲学”；恩格斯认为“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生了”；华罗庚先生认为数学是由人类的需要而产生的，研究对象是现实世界的空间形式和量的关系，随着人类对自然界认识的不断提高，数学逐渐历史地形成一门包括很多分支的庞大学科[4]。这些数学哲学观，经历了一个从具有先验的、客观的唯心主义性质，到辩证唯物主义性质的发展过程。持有辩证唯物主义性质的数学哲学观，会对数学课程甚至数学学科的认识更加有深度和高度。高等数学中很多内容都蕴含了丰富的辩证唯物主义哲学思想，教学中通过挖掘教学内容所蕴含哲学思想，就能帮助学员树立辩证唯物主义的数学哲学观。
一是量变与质变的哲学思想。几何中“由点到线，由线到面，由面到体”，反映的是由物体位置关系维数的量变引起的物体形状的质变；函数由一元函数到二元三元以及到多元函数的变化，是自变量个数的变化引起函数某些性质的变化；定积分几何意义下有限个矩形的和仍是矩形，但无数个直边矩形的累积就得到了曲边梯形，也是量变到质变的结果；还有变力做功、变速直线运动的位移、物体在变化压强下的受力，都可以用微元的无限累积和而得到结果，也是量变引起质变的结果。
二是对立与统一的哲学思想。极限是讨论处于无限变化过程中变量的变化趋势，变量无限逼近的结果是个有限数（极限），所以极限概念就是有限与无限的对立统一。微分是对象按照某种方式分解成微观单位，直至无穷小，积分是微观直至无穷小的单位按照某种方式的组合，所以微分和积分是一对矛盾概念，但二者又是统一的，牛顿莱布尼兹公式就把二者统一为矛盾统一体。并且，在微元法也就是积分的思想中，也有微分的思想。在一个大区间上分布不均匀的量不好求，我们就把区间无限分割，把整个量分成微小的部分，先求这个量的每个微元，然后求微元的累积和，即积分，便得到整个大区间上量的值，这充分体现了微分与积分在同一个问题中综合应用，体现的是微分与积分的对立统一。再如，近似和精确的对立统一，二者在一定条件下可以相互转化，这就是微积分中通过求极限而获得精确值的重要方法。比如割圆术体现的就是近似与精确的对立与统一，积分也是近似与精确的矛盾统一体。
可见，以上这些具体的教学内容，都蕴含了量变与质变、对立与统一等哲学思想，如果在教学中学员能体会到这些思想，那么在学习中所用到的所有数学思维，必然就上升到了数学哲学思维的高阶思维层次。
4 结 语
通过分析高等数学(微积分)课程中蕴含的抽象、逻辑推理、直观想象等基本数学思维形式，给出了课程教学中数学思维培养途径与方法，即注重概念教学、强化定理证明、启发思维过程、培养应用意识和树立数学哲学观等具体的数学思维培养策略。
[参 考 文 献]
[1] 方延明.数学文化[M]北京：清华大学出版社，2009:38.
[2] James Stewart. Calculus[M]. Seventh Edition.（影印本）北京：高等教育出版社，2014:xi.
[3] 陈鼎兴.数学思维与方法[M]南京：东南大学出版社，2008.
[4] 林夏水.数学哲学[M]北京：商务印书馆，2003:200.
作者简介: 毛俊超（1976-）,男，硕士，副教授，从事高等数学（微积分）教学与研究.
地址：山东省青岛市李沧区金水路1号403信箱 基础部数学教研室 。