【摘要】解决问题不仅是学生学习数学的目的，更是学生学习数学的主要方式。“求一个数比另一个数多几”是一年级解决问题中的易错点，也是学生思维方法与外显行为断裂的典型案例。因此在实际的教学中，教师应当为学生构建适当的情境，在教学初消除因数据对学生解决问题方法的不利影响，在隐藏数据和显现数据的过程中帮助学生顺利建模，从而建构知识。
关键词：解决问题 思维方法 外显行为 建模
一、问题提出
“求一个数比另一个数多几”是人教版一年级数学第二册第二单元第21页的内容，例题是这样的：小朋友们在参加套圈圈的游戏，小雪套中了7个，小华套中了12个，小华比小雪多套中几个？每次在学到这一课内容的时候，教学的效果总是不理想，课堂中总是会出现一部分的学生用“”的算式进行解答，尽管教师一再强调，甚至规定算法乃至要求学生死记，还是有学生依旧我行我素。也和经验丰富的老教师讨论过，这个现象似乎都是普遍存在的，甚至有的学生到了二年级依旧如此。为什么学生在这个问题上表现得如此“执着”呢？
二、问题分析
解决问题在数学的教学中有着举足轻重的作用，它不但能培养学生的数学思维，激发学生学生学习数学的求知欲和探究欲，还能培养学生的应用意识和创新能力。而学生在解决问题的过程中往往缺少对数量关系的真正理解和掌握，只是单纯地停留在对数量关系概念表象的认知上，对其内涵与外延不能正确理清和内化。
因此单我们在课堂中出示这样的图片时，学生能异口同声地说出“多五个”，又在列式时，无视教师的暗示与强调，坚持用算式“”解答。究其原因，是因为学生不能体会到“求两数相差多少”的数量关系所蕴含的减法含义，学生对减法含义的理解只是停留在从一个数里去掉一部分剩余是多少，如人教版一年级数学第二册第二单元第13页的内容：一共有12个风筝，我们要买8个，还剩几个？学生能正确快速列出算式“”来解答。当问及学生这样列式的原因时，多数都是认为因为气球卖了，数量减少，因此用减法列式。因此可见学生对减法的意义理解比较浅显，因为减少了，所以用减法列式；因为增加了，所以用加法算式。
由此推测，当学生在课堂中听到“小华比小雪多套中几个”时，学生敏感地对“多”字做出条件反应，列出错误的算式，可见这是前知对当前学习的负迁移，符合学生当前已有的知识技能和认知现实。之所以学生能正确喊出答案是因为课本展示的情境中已经为学生提供了“数”出答案的可能：学生能够通过观察小圆片，在一一对应的关系下直接数出小华比小雪多5个，这个时候学生的思维方法和实际采用的解决方法是没有对应关系的。也就是说“多5个”与算式“”是存在断层现象的，“多5个”是学生通过眼睛观察直观得出的结果，而“”是学生在观察的结果上列出的算式，二者之间并不存在对应关系即此时学生的思维方式和外显的解决问题的方法没有正确链接。这两步之间并不存在因果关系，所以学生会如此执着于该算式的原因就是因为学生思绪是无序的，思维是低效的。导致这个结果的原因恰恰是因为教学情境中为学生提供了明确的数字，“方便”了学生数数的行为而未能进行有效的数学思考。
三、问题解决
因此在教学初，教师应当创设情境，巧妙隐藏数据，给学生提供“模糊”的信息图，通过以下几个活动，逐步引导学生开展有序的思考：
（一）在模糊情境中比长短
教师出示两根长度不同的绳子，长绳为红色，短绳为黄色：
（1）哪条绳子更长些呢？（引导学生把两根绳子的一段对齐后去比较）
（2）那么长的绳子比短的绳子长了多少呢？（此时学生不能准确表达具体的大小，而这恰恰是教师采用绳子比长短从而隐藏数据的目的，达到在教学初排除学生直观数数的行为结果，消除知识的负迁移）
（3）你能指出长的一部分是在哪里呢，从哪里到哪里是长的部分？
（4）那剩下的这一部分呢？（引导学生说出这段是和短绳一样长的）
（5）所以红绳我们可以把它看成是哪两部分？（此时教师趁热打铁，继续引导：所以要求红绳比黄绳长多少只需要把红绳中的哪一部分去掉？）
（6）教师实际演示剪绳子的动作过程，引导学生共同得出结论：要求“红绳子比黄绳子长多少”只需要从长的绳子即红绳中减去和短绳相同的部分，简言之，就是把红绳的长度减去黄绳的长度。
这样，在不提供数据的情境中，学生因为不能直接数出结果，从而不能利用具体的数列出错误的算式，而是在教师的引导下，进行有效的数学思考和探究活动，在头脑中初步形成“求两数相差多少问题”的基本模型和思想。
（二）在明确情境中求发展
通过学生刚才的观察和有效思考之后，学生已经初步感知“求两数相差多
少问题”中的减法意义，对其中的数量关系也有了一定的理解和掌握，特别是关于两数相差多少的数学模型得到初步建立，因此教师应当顺势把刚才的模糊情境清晰化，为其提供具体的数值，方便学生顺着刚才的思维过程与方法得到准确的结果，满足学生自身的学习需求和好奇心，让两数相差关系的数学概念在学生头脑中得到表征。
为了学生进一步的学习需求，促进学生理解关于两数相差关系中的减法意义，掌握利用减法算式解决两数相差关系的数学问题，在学生能正确说出算式的前提下，教师可以通过课件不断地变换情境中绳子的长度，让学生一一说出相应的算式，从而让学生在变式中体会两数相差关系概念的内涵，促进数学模型的进一步建立。
从两数相差关系的模糊情境到清晰的问题情境再到不断变换数值的过程中，学生一步一步建立了相应的数学模型，强化了对这一类问题的解决方法和思维过程，既顺应了学生既有的认知特点和规律，也迎合了一年级学生学习数学的心理，有效促进学生对两数相差关系的理解由经历、体会慢慢过渡到感悟、建模的过程。由此，引导学生从认知模糊走向明确认知，实现学生的思考与学习行为的有效统一。
（三）在动手操作中悟本质
作为数学解决问题学习的起点，如何帮助低段学生借助多元表征来理解数学问题，是教师值得深思的地方、学生在解决问题的过程中一般有三种表征方式，分别为动作表征、语义表征和符号表征。而动作表征是低年段教学经常使用的方式，它是指通过学生动手操作，挖掘数学本质，建立数学模型。
基于以上的认知经验，此时教师可以提供给学生自己动手、自己操作的机会，帮助学生在自主探索和合作交流中真正理解掌握两数相差多少的数量关系的内涵。
教材的主题图是小朋友在套圈圈，小学套中7个，小华套中12个。学生根据刚才的学习经历，知道当我们用小圆片代表套中的圈圈时，应该排成一一对应的两行，拿走相同的部分剩下的即是多的部分，但现在这里的重点是让学生理解“拿”的这一过程。为了更好地体现“拿”的过程，把求“小华比小雪多套中几个就是把小华套中的圈数里去掉小雪套中的圈数”这一方法转化成学生的动作、自己的理解，教师可以利用数学学具包进行操作。
别看这小小的“拿”的动作，它帮助学生形象直观地理解了两数相差多少背后蕴含的减法含义，对数量关系结构模型的建立有着重要作用。
（四）在“二次模糊”中成技能
为帮助学生全面理解减法的意义，在实际的教学中，教师不应该只强调某一
种现实情境，而应当注意现实情境的多样化，逐步完善减法的意义。学生在经过刚才明确的圆片实物图操作之后，已经逐步会用正确的算式解决两数相差关系的问题，学生的头脑中也已经有这一类问题的模型，为了帮助学生在学习的过程中更好掌握两数相差关系中的数量关系模型，形成此类问题解题的技能，教师应当呈现不同的现实情境，帮助学生利用既得的模型解决现实的问题，从而与现实世界相链接。
而在这一过程中，教师有必要利用教学手段巧妙隐藏数据信息，再次呈现给学生模糊的情境，只留下示意图、数学符合或语言文字等模糊信息，以此“逼迫”学生在此类情境中寻找问题的共性特征，从而形成此类问题的解决技能。如“小林家养了15只兔子，9只羊，兔比羊多几只”可以隐性为;“哥哥今年15岁，弟弟今年8岁，哥哥比弟弟大几岁”可以只呈现哥哥和弟弟的图片，提问哥哥比弟弟大几岁；“红色彩带长17，黄色彩带长9，红色彩带比黄色彩带长多少”可以直接提问“求红彩带比黄彩带长多少，我们应该如何思考”。
在这些不同的情境中，学生都不能利用具体的数值进行观察或数一数得到答案，相反在这些变化中，学生由于之前的初步建模，已经具有了寻找问题中数量关系式的初步能力，因此教师在这个时候构建的这些问题情境，不仅仅迎合了学生进一步学习的需求，更能帮助学生寻找出此类问题解决的规律性即求兔子比羊多几只就是把兔子的数量减去羊的只数；求哥哥比弟弟大几岁就是把哥哥的年龄减去弟弟的年龄；求红色彩带比黄色彩带长多少就是把红色彩带的长度减去黄色彩带的长度。
而这些问题情境中所蕴含的“多与少”、“大与小”“长与短”为学生更进一步的建模提供了可能。此时教师可以顺势引导，帮助学生技能的进一步形成。如要求老师比学生高多少只需要如何列式？引导学生说出只要把老师的身高减去学生的身高即可。通过呈现这些不同的教学情境和数据的隐藏，学生的头脑中能建立起两数相差关系的问题模型，对这一类的问题的条件反射基本得到培养，从最初教师的强硬规定算法或学生的死记硬背，到现在的学生的自我主动探究和建模，学生完成了从被动学习到主动探究参与的转变，学生对“求两数相差多少问题”有了真正的参与和切身的体会，能够列出正确的算式解决这一类的问题，实现“二次模糊”中对数学本质的理解，形成技能和技巧。
四、小结归纳
通过以上的分析，学生在“求两数相差关系的问题”上易错点是常会在数数的基础上列加法算式解决，究其本质是学生未能体会此问题背后隐含的减法含义即学生对其中的数量关系的掌握只是停留在表面。
因此针对学生的这一现象，可以在教学初巧妙隐藏数值，提供一个模糊的教学情境，让学生“无数可数”，从而引导学生进行有效的数学思考和探究，并通过学生的动手操作，切身体会问题中蕴含的减法意义，帮助学生建构知识，建立问题模型。同时，在学生能基本正确列式的基础上再次模糊情境，帮助学生形成此类问题的思维方法和解题技能。这样，在不停地变化过程中，学生的思维得到锻炼，解题的技能得到训练，学生更是完成了由最初的被动学习到主动建构知识的转变。
参考文献
[1]徐炎.例谈低段解决问题教学中的多元表征[J].教学月刊，2017,5（446）:39-41
[2]于正军.在“二次模糊”中建构知识——基于“红花片比蓝花片多几个”的教学思考[J].教学策略，小学教学设计，2016,8:6-7
[3]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2016,7:190-191
[4]方均斌，蒋志萍.数学教学设计与案例分析[M].浙江：浙江大学出版社，2012,3:116-126