【内容摘要】随着科学技术的发展，教育体制的深化改革，在教学过程中越来越要求解决问题的方法多元化，在小学数学知识的学习过程中，数形结合这一数学思想一直被沿用，数形结合能够解决很多抽象的数学问题，同时也是数学解决问题方法多元化的一种体现。“数无形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合是数学中的一种重要并常用的思想。如何在网络时代的今天，在小学数学借力APP 软件增强学生数形结合意识，成为本文的研究方向。通过数形并重、变式、沟通，点燃学生思维的灵活状态。
【关键词】 APP 软件 数形结合 策略研究
如今，更多的老师能意识并感受到数形结合带给学生的好处，但在常态的课堂教学中，因为教具学具的缺失、自制课件的困难、手绘图像的粗糙等原因，数形结合常常让人感到心有余，而力不足。在网络时代的今天，数以万计的APP 软件不断出新，其中就有很多是由信息技术与小学数学教育专业人士联合制作的，内容资源与数形结合相关，界面操作颇受学生喜爱。
那么，在小学数学课堂数形结合方面，如何借力APP 软件进行实践操作？笔者结合数学学习内容进行研究论述。
一、见数见形，数形并重——构造思维的双通道
在对某个数概念、数的运算新知识学习，或是某个数量关系等代数问题解决时，在教学的伊始，就让学生通过相应的APP 软件见到数又见到形，掌握代数特征的同时掌握其几何特征。
1. 静态同现，接触通道
APP 软件的可视化，让它有很多同时呈现数与形的实例。如表1
表1：APP 软件数与形同时静态呈现的简单例举
在APP 软件中类似静态呈现的例子很多很多。学生从学习的一开始，就不再是只关注数回避形，或是关注形回避数，而是数形同时接触。数学本就是研究数量关系和空间形式的科学。因此，要有意识地从这两个方面共同精确地刻画所要认知的事物。
2. 动态反复，强化通道
学生思维双通道的构造不是一蹴而就，需要在动态的过程中反复强化。
【案例】《小数的初步认识》 在小数的初步认识课堂教学时，除了例题中数和数线同时出示，其余都是以数为主。在教学中引入APP“ 小学算数”，具体操作时，随着手指向的箭头在数线上任意滑动，即时可见某一小数和该小数在数线上表示的长短。
线上的直观图像，对于0.9 、2.5 、12.3 数与形的认知彼此不再独立；另一方面，手指滑动箭头触及每一点的前进、后退都会产生一个新的数与形，反反复复，始终如一地将思维的代数通道和几何通道并行，这种数形并重的方式，构造起学生思维的双通道，并逐步往前推进。
二、千姿百态，数形变式——丰厚思维的多图形
学生对于“数”，数、数量关系、运算式是非常熟悉的，也就是“数”这个通道的容量非常的大。相比之下，“形”通道就显得势单力薄。我们把对数和形认知的思维过程进一步分解：已知数可用怎样的图形来表示？哪些图形有这样的数量关系？找出其中的最佳图形或是正确的数。
由以上分析可知，丰厚已知数量特征的几何图形就显得非常的重要，不然就犹如巧妇难为无米之炊。
1. 提供图形，初步感知
从人类对表象的感知来说，图形的建立不是与生俱来的，都是从无到有，一点一点地吸收内化，这就需要积淀丰富学生的图形记忆库。利用APP 软件提供图形，学生初步感知图形可以表示的某种或某些数量特征。
【案例】 《5 的乘法口诀》教学
根据学生现存的知识经验，对事物的形象的感知的基础之上，教师指导学生来编写5的乘法口诀。教材例题中提供的点子图这为乘法算式提供的形的支撑。通过选择。相应的APP乘法软件可以为学生对算式的认知提供更加丰富的图形支撑。
通过APP 软件提供的具象物体结构化排列、点子图、隐藏的矩形、线段图，使学生初步感知这些图形、头脑中的有关这方面的表象得到了扩容与丰富。
2. 操作图形，加深印象
仅有对图形的初步感知是不够的，还需要在不断的操作中，加深对图形的印象，使之真正成为自己头脑中的储备。APP 软件具有强大的可操作性、实时互动性，恰好可以发挥作用。
【案例】《乘法口诀练习》教学
在相应乘法口诀的练习当中，通过APP软件的有效利用，学生们可以惊喜的发现，针对每一个乘法算式，通过点击方框左上角的相应按钮，向右下方可以拉出相对应的矩形，并且这个矩形包括2个3或者是3个2等量组聚的相关模型。
在猜想预测、动手操作、实时检验、自主纠错的过程中，学生不断强化对蕴含乘法含义矩形图形的认知和理解。在之后的练习中，也能加以运用，说明对可以用矩形来表示乘法含义，学生已经有了深刻的印象。在对解决问题方法回顾的时候，学生这样写道：“最好的方法是画图，画图可以让你的思路更加清晰。”图形在学生头脑中已经有了一席之地。蒙特梭利曾经说过：“我听过了，我就忘了；我看见了，我就记得了；我做过了，我就理解了。”事实证明操作图形，加深印象是非常有效的做法，也为后期的学习奠定基础。
三、互相吸引，数形沟通——点燃思维的活状态
在数形并重、数形变式的基础上，最为重要的是做好数与形之间的沟通。这里面包含三层含义：以数化形。在几何特征的直观感知中理解“数”；以形转数。在逐步抽象概括的基础上读懂“形”；数形转化。数化形，形转数的过程，不是一次就可以实现的，在反复的训练中提升学生数形结合的意识和能力，让数形结合的思想如影随行。
1. 以数化形，在直观中理解数
几何直观，把“ 数”的问题转化为“ 几何”问题，构造出与数相应的几何图形。形和数相比较，有着直观上的优势。以《代数的初步认识》教学为例，教学时引入APP
软件，它里面有“ 看数画图”的两个模块，如图
首先，选择一个图形作为以数化形的材料。接着学生在选择的圆形中动手划分，把头脑中理解的代数含义物化出来。在这期间，学生有可能出现错误，APP 软件在学生提交答案时，立即给出一个反馈信息，引发学生辩证思考和进一步的学习。在接下来再一次的操作中，正确均分图形，两次取份后，APP 软件即时给出正确的反馈信息。事实上，这个过程可以看成是对代数本质还原的过程，让学生从“ 头”想起，亲身经历、直观中去感知理解。
图：其他图例
当然还可以选择其他的图形，如长方形来进行研究，见图7。
上述案例在探索的过程中，以圆形作为探究材料，学生在APP 软件中尝试画图，理清画图的方法，“分母表示平均分的份数，份子表示取这样的几份”即“分了取”，在操作的过程中理解2/3是怎么得到的，它所表示的含义，在直观中用形解释数，使学生真正理解分数的内涵。
第二模块中在数尺（没有刻度，只有自然数）上形象、直观地把三个分数表示出来（见图），将分数与“位置”建立一一对应的关系，既有助于理解分数的含义，又有助于预测分数的顺序、大小关系。
图：数尺上表示三个分数
2. 以形转数，在抽象中读懂形
把“几何”问题转化为“数”的问题，图形是推理和计算的直观模型，相关的知识可以通过数和计算的推理来进行深入地理解，检验学生是“一知半解”的仅停留在直观模型层面，还是自觉关注数量之间的关系，进行
图：课本例题图
了入木三分的理解。
例如在学习几何相关知识时，学生在建立了图形概念的基础上，对正方形、长方形的知识，借助APP软件《小学数学动画》，从直观的感知，在抽象中概括出计算公式，并具备普适性。
学生从最初看见形，到运用数据进行直观计算，再逐步探讨，最终呈现一个数量关系。在这个过程中，学生对内容的图像内涵理解更为深刻。
又如《万以内数的认识》中，APP 软件《Place Value》就是以形化数，把看到的各种表征数的模型，通过右上方空白区域的操作输入转化成数。学生深刻地意识到，数字的变化所引起的形态的变化，背后的形式是数字的支持。在对形状关系的比较和度量中，数字概念得到了发展。由此可见，当解决一些图形性质与关系的问题时，不能离开从数量上刻画图形的要素，借助数量的计量与分析，图形的性质与关系才能严谨，才能帮助学生获得图形某些性质与关系的准确的结论。从形到数，我们对事物、规律的把握越细微、深刻，就越能真正读懂它，既知其然，又知其所以然。
参考文献
1.杨文娣. 数形结合在小学数学中的应用[J]. 课程教育研究, 2014(29):148-148.
2.汪渭芳. "数形结合"天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J]. 小学教学参考, 2010(17):30-31.