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三角形重心的一个性质探究

发表时间：2020/7/13 来源：《新纪实》2020年第3期作者：陈正毕

[导读] 有一个应用很多的重心性质：三角形重心是中线上靠近对应边的三等分点.

        大理州巍山二中云南大理 672401

        有一个应用很多的重心性质：三角形重心是中线上靠近对应边的三等分点.
        这个性质应用很多，在此用四个方法进行证明.
        一、向量法1
        如图1，已知G是的重心.
        证明：
        ∵设，，
        = .
        又=，
        ∴==+（）=+（）=，
        ∴=（1-）+ .
        ∴，∴= ，，.
        ∴重心G是中线的一个三等分点.
        二、向量法2
        证明：沿用上图，设，B、E、C三点共线
        ∵== ，
        ∴ =，∴ =
        ∵B、G、F三点共线
        ∴=1，=，∴
        ∴G是中线的一个三等分点
        向量的一个性质：
        已知=λ+μ(λ,μ为常数，向量都是非零向量),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.
        三、面积法
        已知的三条中线、、相交于（重心）.
        求证：
        证明：
        ∵是△ABC三边中点，
        ∴，
        ，
        ∴
        同理
        ∴ ，
        而= ，
        ∵和一条高相同，所以底边之比等于面积比.
        ∴OA=2OD
        同理可证BO=2OE，OC=2OF.
        四、坐标法
        建立直角坐标系
        设A为（a,0），B为（b,c），G(x,y)D、E、F分别
        是OA、AB、OB中点.
        直线OE为y= ,
        直线BD为y= ,
        联立方程得
        =，=
        -3ax=-a(a+b),=, y== = .
        所以G为（），（ =
        所以OG = ，DG = ，BG = ，
        同理可证AG = ，命题得证.
        注：方法4验证了三角形的重心坐标公式.
        △ABC三个顶点的坐标分别为 , ,,则△ABC的重心G的坐标是.