摘要：向量作为一类基础的数学工具，其具备着大小和方向的特性。向量能够简便地解析几何关系，亦是线性代数的基本概念。通过了解向量的性质以及几何意义能够清晰地理解向量赋予实际应用方面的含义。
关键词：向量 大小和方向 实际应用
一、基本概念
定义1：数量积又称为内积，是一个标量积。两个向量的数量积即为一个向量与另一向量在这个向量的方向上的投影的乘积，两向量模夹角是两个向量之间的夹角，其取值范围为：0≤≤π。可以使用数量积求解两向量之间的夹角关系。
数量积的性质：了解数量积的相关性质
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定义2：a×b是一个垂直于a且垂直于b的向量，并规定模为|a×b|=|a||b|sin（a,b）,所表示的方向符合右手法则，且不超过两个向量的夹角。
定义3：在设定的三个空间向量通过其中两个向量积所得到的向量与其另外一个向量再作数量积，这样所得到的数量叫做三向量的混合积向量。a,b,c的混合积表示为（a,b,c）与向量（a×b）·c的数学含义相等,同时我们需要注意三向量的混合积，其结果为一个具体的数值（标量）。从此行列式的运算性质当中，能够发现并得出混合积具有轮换性。
数量的混合积[a b c]=（a×b）·c的绝对值表述为以向量a,b,c这样的三条邻棱来计算出平行六面体的体积，这个体积是有向的。行列式符号有着规定要求，因而需要具体根据这三个向量构成右手系还是左手系来进行界定。即当（a,b,c）组成右手系时，[a b c]为正；当（a,b,c）组成左手系时，[a b c]为负。 三阶方阵的行列式展开所得的表达式为该平行六面体的体积，即是这三个向量的混合积。
二、向量的数量积在几何与三角函数上的应用
知悉数量积的几何意义，我们可以明白其所表述的即是一个向量在另一向量方向上的投影。数量积在解析几何时通过数形结合能够运用三维空间模式来简化其运算过程，有效降低证明过程的复杂程度。
1.判断两向量垂直
在空间几何题型当中，利用向量可以证明两向量或两直线垂直，也可以用来证明线面垂直问题。
2.证明三角形的余弦定理
在函数当中，运用常规的代数方式去解决三角函数问题往往会比使用向量方法难度系数更高。应用数量积能够较易理清思路从而推导出来且对运算步骤容易理解。教材[1]通过此例解析说明采用向量证明三角形的余弦定理。
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除了证明三角形的余弦定理我们还可以通过数量积以此判断几何形状,在△ABC中，根据向量坐标以及坐标之间的距离可初步判断△ABC的形状，可以试着在图纸上标明坐标，大致画出相应形状，并进行解答。此外还可通过数量积证明三角形的勾股定理。
三、向量积的应用
在解决实际问题中，需要考虑向量积所具备关于大小和方向的性质，可由向量积的几何意义来解决几何当中的面积问题以及二面角等。若采用向量外积法,省去了判断法向量方向的步骤, 在一定程度上提高了运算的准确率, 也便于在短时间内求出二面角[2]。我们也可以通过对比求出平面法向量的解析过程从而选择相对简捷的向量用法。
方案一（内积法）
在原有的空间直角坐标系当中，可以假设平面a的一个法向量为n向量，并且在此平面内寻得任意两个不共线的法向量a,b。由于n⊥a，n⊥b，可以得出n·a=0，n·b=0，列出方程组即可解出n。
方案二（外积法）
我们可以将向量a，b设为空间中的两个不平行且均为非零向量，其外积a×b为长度|a||b|
，与a，b均垂直的向量。较常应用右手规则,即是以右手四指由a的方向转为b的方向时，大拇指所指定的方向即规定为a×b的方向，其表示a×b=-b×a。
四、混合积的应用
1.在数学应用层面上，我们通常以直线斜率来判断两条直线是否相交,题型略微复杂如若采用代数形式来进行解析的话，则其运算过程将会十分复杂。可以利用向量几何中混合积的性质,由端点所构成的向量与辅助向量的混合积的正负来判断两线段是否相交[3]。后一种方法相对前者运算相对简捷。
2.在几何层面上我们可以利用向量的混合积或直接利用行列式计算来求得四面体的体积，同理也可以相应地计算平行六面体的体积。首先，我们可以三条邻边作为基底向量，计算它们两两之间的叉积。然后，根据向量叉积的行列式定义，计算两边所在向量的叉积，再与另一边求得数量积，所得出结果的绝对值即为其体积。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学下册[M].7版.北京：高等教育出版社，2014,7.
[2]洪喜彬.向量积在中学数学中的应用[J].数学学习与研究,2018(16):126.
[3]王舒鹏,方莉.混合积判断线段相交的方法分析[J].电脑开发与应用,2006(10):34-35