摘要：在高等数学的应用领域，柯西不等式的重要性不言而喻。本文致力于探究柯西不等式的证明方式，并在此基础上深入研究柯西不等式在其它方面的妙用。在求证不等式时，柯西不等式发挥着越来越重要的作用。除此之外，寻找方程的最优解，解析几何图形特别是三角形，以及更深层次的点线之间的距离关系，都可以与柯西不等式相互证明和解释。
关键词：柯西不等式，证明，妙用
对于柯西不等式的证明与应用问题，可以说涉及数学研究的方方面面，是现代数学学习的重要鼎力。本文在讲述柯西不等式基本原则的基础上，深入研究其证明的方法以及与其他数学知识相结合产生的妙用。柯西不等式的重要性不言而喻，对于柯西不等式的证明问题也有很强的多样性，本文就列举了几种方法来证明柯西不等式。从另一个角度看，柯西不等式与其他的数学原则紧密结合，在多个方面列举了柯西不等式的妙用。
一、相关定理
柯西不等式是指下面的定理
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二、柯西不等式的证明
常用的证明柯西不等式的方法有：
1）配方法：
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2）利用判别式证明（构造二次函数法）
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由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
4）用向量法证明
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由以上，命题得证。
三、柯西不等式的妙用
1）证明不等式
在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。
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证法二：（利用柯西不等式来证明）
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证明：由柯西不等式：
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因此原不等式转换为证明
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由柯西不等式有
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2）求函数的极值
柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由
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从对立的角度讲，柯西不等式的前端可以取一个乘法关系或者因果关系的算式，然后把它看做是一个函数关系，在假设后半段或者其他数学关系为已知关系时，可以从最小的层面上得出函数的值。
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4）解三角与几何问题
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5）线性关系函数与柯西不等式关系的妙用
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6）推导点到直线的距离公式
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四、结论
本文探究了柯西不等式的证明以及在多个方面的妙用，不管是方程最优解的寻求，还是三角形或其他几何图形的解析问题，柯西不等式都发挥着重要的作用。通过对柯西不等式证明及妙用的研究，对于更有效的利用柯西不等式有重要作用。但是,柯西不等式的运用条件十分灵活，且技巧性强，很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题。从哪里入手，如何创造条件，怎么创造，实际教学中不少同学找不到突破口，感到无所适从，所以这就要求我们还需要进一步去深入研究。
参考文献
[1]刘瑞香.不等式证明方法[J].高等数学研究，2019,22（06）：25-28
[2]马进才.柯西不等式的应用初探[J].河北理科教学研究，2019(04):9-11.