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基于误差：从“模糊”跨跃到“清晰”

发表时间：2020/7/20 来源：《现代中小学教育》2020年第6期作者：刘静园

[导读] 以“三角形内角和”为例，直视“误差”，寻找对策，走向“清晰”。

杭州二中白马湖学校刘静园 310052

内容摘要以“三角形内角和”为例，直视“误差”，寻找对策，走向“清晰”。
关键词误差内角和
        一、现状：忽视关键，走入三角形内角和的教学误区
        现在学生接触知识的渠道多、内容广，很多数学知识都或多或少的听到过、了解过、甚至理解。《义务教育数学课程标准》（2011版）提出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
       《三角形内角和》是人教版数学四年级下册第五单元知识。关于“一个三角形内角和是180度”这个知识点,学生们知识基础不一，不同地区学生差异更明显。面对这一现状，数学教学中存在着忽视关键，走入误区的不适宜现象。
        1.忽视学习“起点”。
        一个班里会有几个甚至大部分学生是知道“一个三角形内角和是180度”，老师们在开展教学时经常会出现两种情况。情况一:把学生当作零基础开展教学。教师提出各种要求让学生跟着操作，然后得出知识点.情况二：把学生当作完全掌握知识开展教学。让学生记住这句话，接下来出示系列题目训练，巩固知识。这种无视学生“起点”的教学是无效教学。
        2.忽视操作“误差”
        验证过程中的量、拼或折等操作都会存在一定的误差。为什么出现误差？什么算是真正的误差？如何让学生感受到数学误差与严谨性的辩证关系？不能正确处理这些问题将会把教学引向形式化的范畴，让学生学了等于没学，或是学了反而更模糊。课堂教学游走在形式上，既是浪费宝贵的教学时间，也是扰乱学生的数学思维。
        3.忽视验证“过程”
        “量-拼-折”是教学《三角形内角和》的基础过程。
        但为什么要量，为什么要将三个内角折在一块或撕下来拼成一个平角？很多学生对自己的学习行为似懂非懂，更多的时候是因为老师要求做的。笔者对学生进行《三角形内角和》学习的前测和后测;“为什么一个三角形的内角和是180度？说说你的理由。”发现很多学生在上课前后只是出现语言表述上的差异，实质没有发生太多的变化，白白浪费了学生的学习时间。
       二、思考：探寻本质，构建三角形内角和的思维体系
       小学阶段的三角形内角和知识是属于欧式几何范畴：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180?，这是数学化的定性刻画.学生对它的学习过程是探寻本质的过程，更是构建三角形内角和思维体系的过程，从而提升核心素养。
        1.明确三角形内角和的核心理念
        《三角形的内角和》一课，在不同的版本里安排模式不一样。在人教版、苏教版、北师大版、青岛版教材中是按照“情境（问题）——操作——结论”的模式编排，在浙教版、台湾版教材中是按照“论点——验证——结论”的模式，进行类似推理的安排。
        各套教材虽然编写各异，素材各异，但其指向的核心理念一致：即培养学生的逻辑推理能力。
        2．提升三角形内角和的辩证意识
        三角形的内角和是小学“几何与图形”范畴中《三角形》单元的内容，它是组成三角形的基本要素——角的特质。三角形的形状大小多种多样，但它的三个内角之间有一定的辩证关系，其中的一个角变大，另两个角就相应的变小，即三个内角之和始终为180度。这一节课的内容，需要在学生发展逻辑思维的同时，提升相对的辩证意识。
         三、实践：直视误差，完善三角形内角和的验证过程
        动手操作验证三角形内角和时，一般都会出现误差。既然不可避免，那么就直接正式误差。

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        ㈠动手操作中感受误差
        1.思考验证方法
        你会用什么办法验证一个三角形内角和是180度？
        2.预设验证可能出现的问题量或拼的过程中会有什么问题？（有误差）他们的结果会有什么特征？
        3.学生动手操作验证。
        小组合作：A介绍我验证的是什么三角形的内角和。B说说我是怎么验证的？
        C得出的结论是什么？D是否出现了误差？
        ㈡拓宽值域中避免误差
        1.推理直角三角形内角和是180度
        引导：有什么图形你是知道它的内角和的？
        一个长方形的内角和是多少？你是怎么知道的？
        师：你能根据一个长方形内角和360度，验证出一个三角形的内角和是180度吗？
        提炼：∠1+∠2＝90度，90+90＝180度。
        2.推理任意三角形内角和是180度
        师：刚才我们利用长方形内角和验证了一个直角三角形内角和是180度，而且没有误差.那你能想办法推倒出另两类三角形——锐角三角形和钝角三角形的内角和是180度吗？
        ㈢反复验证中正视误差
        验证锐角和钝角三角形的内角和也是180度。
学生得出方法：任意一个锐角三角形或钝角三角形，画一条高可以将它分成两个直角三角形。每个直角三角形的内角和是180度,180×2－90×2＝180度。
       师追问：这样验证的过程是否有误差？
        以上《三角形内角和》的教学设计以学生的知识认知和生活经验为基础，以培养学生逻辑推理能力为目标，让学生在寻找“没有误差”的验证方法中发展核心素养。
        四、反思：知识了解到理解的教学策略
        《三角形的内角和》告诉我们：学生对数学知识由了解到理解的过程是一个双向调控的过程。在具体的数学教学中，可以采取多种策略调控教学。
        1.刨根问底，深入问题
        学生的学习基础不会堂而皇之的摆在老师面前，更不可能由学生直接告诉。在开展数学教学时，老师可以将自己占位至学生，思考这个知识点为什么是这样的？
        三角形内角和中的“误差”问题是第二阶段学生学习时必然遇到的问题。教学时,与其一知半解的避开，不如欣然面对.“在量、拼、剪的过程中会遇到什么问题？”“误差是怎么产生的？”“长方形的内角和360度是没有遇到这个误差，你能运用这个知识想法让其它图形的误差也不出现吗？”刨根问底式的教学策略，不但关注了所有学生的不同学习起点，也直接指向了问题的根源，激发起学生的求知欲。在探寻问题答案的过程中，不同层次的学生都明白了算理，实现了人人学有价值的数学。
        2.追根溯源，沟通联系
        信息时代的学生，在被动状态下也能接收到丰富的数学知识。在似懂非懂之间，处于思维发展期的学生并不能完全明白自己是否懂了，掌握了还是只知其然却不知其所以然。数学活动中，老师引导学生追根溯源，串联知识，在沟通各类知识间理解知识，提升数学素养。
        三角形内角和是180度，四边形内角和是360度，五边形、六边形……N边形的内角和又是几度？它们与三角形的内角和有什么样的关系？
        将各图形的知识串联到一块后，学生能发现很多的知识都是围绕一种思路在不断地变化。追根溯源，让学生把书读薄，也能将薄的书读厚。
        3.聚焦本质，精准点化
        随着社会的发展，学生的学习环境已发生了质的变化，但我们的数学是一门高度抽象的学科，它不可能做到日新月异，常换常新。
        三角形的内角和是180度，是在数学发展的过程中研究发现的。而且这个信息必须在欧式几何中存在，如果放在“非欧几何”中是不成立的.但在学生学习这节新课时，我们又不能一边教了学生“一个三角形内角和是180度”之后又告诉学生是错误的.但不做一定的处理又感觉科学的完整性受到了挑战。所以在教学设计的最后，安排了“在一个立体的气球上画一个三角形，它的内角和还是180度吗？”引导有兴趣的孩子进一步探索.感受数字的精准性。
        聚焦本质，精准点化，可以帮助学生透过现象看本质，了解知识之间的联系与差异，帮助学生建立正确的数学概念，提高数学能力。