摘要：多面体外接球问题是高中数学中的重要内容，通过数形结合的思想能够很好地解决多面体外接球问题。本文对数形结合思想指导下的多面体外接球问题进行了探讨，希望能够为高中数学教育事业的发展作出贡献。
关键词：数形结合思想；多面体外接球问题；解法探究
前言
高考中对于立体几何中的球的接、切问题的考察非常常见，而对于选择题中常常可结合图形或者定义来解决，这样就可以有效地避免了复杂的运算.学生最大的问题就是不能准确的列出所需要的等量关系式，对于这一问题通过引导提问激发学生的空间思维，与学生讲清楚如何根据具体题意准确的构造出所需要的等量关系式；
历年来球的接切问题在高考中经常出现，但这却是考生的“软肋”，考生对这个题目“又爱又恨”，“爱”是因为这是高考的常考点，在备考复习的过程中不敢掉以轻心;“恨”是因为这一问题对考生来说比较难，常以选填“次压轴题”的面目呈现，且常考常新、综合性强、字母符号多，空间关系复杂，考生在解题中经常会“卡壳”，往往会出现“想不到、算不出、做不对”的现象.综观近几年的球的接切考题可知:在高考中重点考查的知识内容是锥体、柱体的概念，线面垂直等。时而以三视图为前提，这就要求学生对锥体、柱体的相关概念要熟悉，同时结合小圆半径r，球的半径R，寻找关系式.能够引进空间坐标的，可以简化其空间关系，直接引进数量关系，列方程求解，即数形结合。
通过学习，要求学生“能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法”要求在解决球的切接问题时，首先要能够依据题意准确画出图像，并根据题意列出所求量的几何表达式，并知道根据R、r、边长三者的关系、图形的等量关系式和已知等式来具体列出方程；并采用数形结合的思想，要渗透的是用代数的方法研究几何问题的思想。
二、数形结合思想指导下的多面体外接球问题解法探究
历年来球的外接、内切问题时常以选择题、填空题的形式出现。近几年球的接切问题主要考查的问题主要有：（1）外接球的半径、球的面积、体积。（2）以三视图为载体，再考外接球、内切球。教师应该按照高中数学教学中渗透数形结合思想提升数学素养的实践研究，以学生为主体，充分调动学生的学习积极性，培养学生数形结合思想和空间思维的习惯，在学习过程中，提升学生的数学素养。通过学生自主学习与合作交流结合，加强数形结合空间思维能力的应用，运用数形结合思想寻求解决接切有关问题。
（一）运用数形结合思想求多面体外接球的半径
多面体外接球半径的求解是其他很多题型的基础，如下面所讲到的求解多面体的体积和表面积，都必须首先求外接球的半径。通常情况下，在求解过程中用到空间直角坐标系的方式，找到多面体外接球半径顶点的坐标，然后通过空间坐标系中线段长度的求解方式求出外接球的半径。用这种方式求得的外接球半径方法较为简单，并且具有较强的适用性，在很多题目中都能够很容易找到外接球半径的坐标，进行半径的求解。
例1 已知三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=120°，AB=AD=AC=2，求该棱锥的外接球半径。
解析：引进空间坐标系，如图1，则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,0,2)
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此题就是运用空间坐标系的方式，直接求解多面体外接球半径的典型例子。
（二）运用数形结合思想求多面体外接球的体积
由例1可得，要求多面体外接球体积，应该首先求解多面体外接球的半径。除了引入空间坐标系，还可以根据立体图形间的结合关系来求解外接球半径。在本题中，P、A、B、C组成了一个四面体，根据相关几何结论可以利用结合关系求出多面体外接球的半径。
例2 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，
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在RT△ABC中OA=OB=OC
在RT△PAC中OP=OB=OC
所以在几何体中OP=OB=OC=OA，即0为该四面体的外接球球心
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本题运用直角三角形外接圆半径为斜边的一半间接求出四面体外接球的半径，省去了复杂的空间坐标系计算过程。
（三）运用数形结合思想求多面体外接球的表面积以及点到直线的距离
由以上两题可知，要求多面体外接球表面积，需要首先求多面体外接球的半径。在本题中，可以利用几何关系求解，也可以用作辅助线的方法和向量的方法求点到面的距离，也可以通过引入空间坐标系的方式进行求解。三种求解方式各有千秋，在实际运用过程中，要能够根据实际情况灵活应用。
例3 已知三棱锥P-ABC的顶点都在球的表面上，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2,
（1）求球的表面积。
解析一：可考虑把问题回归正方体，则三棱锥外接球即正方体的外接球。球心即正方体体对角线中点，而O到面ABC的距离h转化为
到面ABC的距离为2h;
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（2）求球心O到面ABC的距离
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以上例题采用了建立空间坐标系的方式对多面体外接球半径进行求解，在求点到直线的距离时运用了向量的求解方式，通过数与形的结合，使数学问题得到了解决。
三、总结
学生对求球的接切问题，基本的问题还可以应付，但涉及到较复杂的如须数形分析的，在寻找R、r、a的关系式时还是有一定的困难。对“动”的，心理上就存在一定的压力，甚至无从下手，本文尝试通过几个例题为学生渗透数形结合思想，以垂直为突破口找到解决问题的基本思路。
参考文献
[1]于晓闻. 探究简单多面体外接球半径的解法[J]. 中学数学研究:华南师范大学, 2018.