摘要：二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。本文通过对数道典型例题解析，阐述二次曲线极点极线的定义与性质，及其在高中解析几何问题，尤其是圆锥曲线定点定值问题中的应用。
关键字：二次曲线，极点极线，圆锥曲线，定点定值问题
二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景。下面以椭圆为例，引出二次曲线极点极线定义与若干性质。
已知椭圆，称点和直线为椭圆的一对极点极线，为的极线，为的极点。
①切线性质：
若点在椭圆上，则椭圆在点处的切线就是的极线（与椭圆相切）；
若点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则就是的极线（与椭圆相交）；
若点在椭圆内，过点作任意直线交椭圆于两点，过分别为作椭圆的两条切线交于点，则点的轨迹就是的极线（与相离）；
确定直线的极点可逆用上述方法。
②对偶性质：点的极线上任一点的极线必过；反之，过直线的极点的任一直线的极点必在上。
③焦点－准线性质：椭圆焦点及其对应准线为一对极点极线；椭圆的右准线上的一点对应的极线经过右焦点，且有。
④中点弦性质：以为中点的弦与的极线斜率相同。
⑤自极三角形性质：过点作两直线分别交椭圆于四点，即，设，，则形成三对极点极线：，，，称为椭圆的一个自极三角形。
⑥调和性质：过点作直线交椭圆于两点，交的极线于点，则有。
自极三角形 射影性质
上述定义及性质可推广至任意二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）：
已知二次曲线，称点和直线 为曲线的一对极点极线，为的极线，为的极点。
如：抛物线的一对极点极线是和。
例1（2010湖北文15）已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围是________，直线与椭圆的公共点的个数是________．
解析：该题第二空中，点和直线恰为已知椭圆的一对极点极线，条件告诉我们点在椭圆内，故由性质①我们可以马上判断出直线与椭圆相离，即公共点个数为0。
例2 已知抛物线和直线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，为切点．
（1）直线是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若否，请说明理由．
（2）求面积的最小值．
解析：在解决这类“是否恒过定点”的问题时，若能事先准确判断是或否并猜想出定点位置，对解题方向的准确把握和解题思路的正确形成有重要的意义。事实上，由于恰为已知抛物线的准线，由性质③我们可以知道和为该抛物线的一对极点极线，必恒过焦点，且，这样就有了解题的方向。特别是（2），既然，那么显然当在准线与轴的交点处时，和均取得最小值，于是面积即也得最小值。
例3（2014广州二模20）已知定点和直线，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点的坐标为，直线与曲线相交于两点，直线分别交直线于点．试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．
解析：（1）。对于（2），我们知道，焦点和准线为抛物线的一对极点极线，由性质⑤知，恰好构成抛物线的一个自极三角形，于是与为抛物线的一对极点极线，又由性质③可知，从而以为直径的圆恒过定点。
例4（2014广州一模）已知双曲线的中心为原点，左右焦点公别为，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，在线段上取异于点的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
解析：（1）。（2）由于在双曲线的右准线上，且有，根据性质③，为双曲线的切线，设，则，其斜率，而，故斜率之积为定值。（3）由性质⑥知，满足条件的点恒在点的极线上，立刻可知该直线方程为，那么也就有了解题的方向了。
由上可见，二次曲线极点极线的性质虽无法直接用于解答题作答，但它就像一把钥匙，帮助我们理解出题者的本意，迅速的找到解题方向甚至是最终答案，以便寻找方法解决问题。特别是在一些客观题和圆锥曲线定点定值问题中，利用极点极线性质解题往往能够收到奇效。
参考文献：
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[4] 罗碎海. 圆锥曲线的极点与极线的重要结论[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2014(19).
[5] 方德植, 陈奕培. 射影几何[M]. 高等教育出版社, 1983.