1 问题的提出
教育是面向活的人，所以教育必须是活的教育。对于高中数学教学，我们始终认为知识不是靠老师‘讲’出来的，‘讲’出来的知识是有限量的，持续性差并且很难再生的。知识是‘带’出来的。所谓‘带’，就是让学生在自己已有的认知结构中，通过老师的引导主动去参与和体验，进而理解与消化、批判与创造，并形成自己新的感受与认知，并达到自我数学核心素养的形成。这种‘带’出来的知识是可以再生的，是有生命力的，是有创造性的。而如何让这种学习方式通过一个具体的切入点带动起来，是我们每一个高中数学教师思考和研究的问题。实际上，在具体教学过程中，这样的切入点有很多。抓住学生在学习过程中的“错误”，进行有效的指导和启发，可以有效提高学生的学习效率，促进学生形成正确认知。由此，我们提出了要让“错误”成为学生进步的有效工具这个课题进行研究。在研究的过程中生成了一些课堂实录。
2 课堂实录展示
2.1实录一
题目 若实数x，y满足约束条件求z＝x﹣2y的最小值。
学生解法：由方程组，,,分别解得（﹣1，0），（1，2），（1，-2）分别代入x-2y可知最小值为﹣3.
老师：同学们这样解的依据是什么？
学生一：因为线性区域是多边形，而目标函数也是线性，所以最值一定可以在顶点处取到。
老师：原则上这个说法是正确的，唯一的问题是——是不是所有的顶点都能取到呢？
学生二：不一定！
老师：为什么？
学生二：线性区域可以是不封闭的多边形。
老师：那同学们是不是迫切的想知道区域是否封闭？顶点是否都在区域内呢？那就让我们画图验证一下吧！
结论：这个解法显然是有问题的，正确的解法应该是什么呢？
学生：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y＝，
由图象可知当直线y＝，过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最小，
由，解，即A（﹣1，0），
代入目标函数z＝x﹣2y，
得z＝﹣1﹣2×0＝﹣1
∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣1．
老师：对这题的错误我们有什么感触呢？
学生：出现问题的关键在于我们乐观的认为线性区域都是封闭的多边形区域。实际上，并不一定是这样的。区域不封闭，有些顶点取不到，最值也就无从谈起了。实质上，我们犯了形而上的错误，前提都可能是错的，结论必然也就会出现问题。
2.2实录二
题目 正项等比数列{an}中，a1＝1，且是a5和2a4的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
学生解法：（1）设等比数列{an}的公比为q，则q＞0．∵a1＝1，且是a5和2a4的等差中项，∴a6＝a5+2a4，
即a1q5＝a1q4+2a1q3，即q2＝q+2，解得q＝2，∴an＝2n﹣1；
（2）依题意知：＝n?（）n﹣1，
∴Tn＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+…+n?（）n﹣1①，
又Tn＝1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n?（）n②，
很多学生只记住了老师两边同乘等比数列的公比，再往下的计算就不知道从何下手了。
老师：首先，数列的求和方法是取决于通项公式的特点，大家分析一下这道题通项公式的特点是什么？
学生：等差乘等比
老师：这类题型的求和方法叫什么？
学生：错位相减。
老师：错位相减的方法我们是在哪第一次遇到的？
学生：推导等比数列的求和公式。
老师：为什么推导等比数列的求和公式时要错位加相减？
学生：因为等比数列的后项都是前一项的q倍，当的每一项乘以q并向后错一位时，上下两式对应项就相等了，再两式一减，就有n-1项都消掉了，从而达到求和的目的。
老师：解释得非常好，这就是错位相减的法的 优势。
学生：可是老师这个题的通项等比数列前面并不是常数，错位相减并不能消掉中间的项呀？
老师：问题提得也非常好，这个题确实没有消掉中间n-1项，但是向右错一位再相减时实际是一个合并同类项的过程，因为等比数列前面乘的是等差数列，相邻两项的差是一个常数，并且中间n-1项都会变成同一个常数乘以一个等比数列的形式，提出相同的常数，就可以等比数列求和，也就达到了整个式子求和的目的，当然不要忘了两式相减求得的不是，而是啊，这也是本题的易错点！
正解：Tn＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+ … +n?（）n﹣1①，
Tn＝ 1×（）1+2×（）+ … + （n-1）（）n﹣1 +n?（）n②，
由①﹣②可得：Tn＝1++（）2+…+（）n﹣1﹣n?（）n
＝﹣n?（）n＝2﹣，
∴Tn＝4﹣；
3 启示与后记
“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也”，在实际教学过程中，教学相长的关键点就是如何让面对困难与错误，这里面既有知识性的也有学习心理状态的，通过对学生知识和认知上的错误进行纠正和合理引导，可以有效提高教学效率，甚至对培养学生迎难而上，面对困难坚忍不拔的学习精神都是大有裨益的，这一点已成为广大教育者的共识。