摘要：中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。本文主要描述了中值定理的内容， 同时结合实例对中值定理在证明等式中的应用进行探究。
关键词：中值定理； 等式证明；应用
一、中值定理的内容
.png)
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当时的特殊情形.
.png)
二、运用中值定理证明等式
若题设给出函数在区间上连续，在内可导（或题设中隐含这样的条件），欲证：至少存在一点，使一个等式成立，且等式中含有、等，一般情况要用微分中值定理。
解题思路：
（1）若欲证等式本身就是或可改写作中值定理结论的形式，即：
或或，则可直接应用相应的中值定理。
（2）若欲证等式经过恒等变形后可写成中值定理的形式，可根据变形后的等式选取定理中的函数。
（3）一般情况，将欲证等式写成等号一端只有零，把它看成罗尔定理结论的形式，即的形式，这时的解题程序如下：
1.将改写成；
2.依据选取辅助函数，这是关键的一步；直接观察，考虑导数公式与导数的运算法则，由的表达式确定函数的表达式，若观察不成，可由积分式得到函数；
3.验证函数在给定区间上满足罗尔定理的条件，便可推出等式；
4.最后，再由还原到欲证等式。
（4）若将欲证等式写成的形式时，刚好是下述形式：
（1）
（2）
注意到且
则(1)式和（2）式可写作
（3）
（4）
由（3）式知，应选取辅助函数，
由（4）式知，应选取辅助函数.
(5)若前述：“欲证：至少存在一点或存在”改为“欲证：存在唯一一点”时，这是还需证明的唯一性，证明的唯一性一般用反证法。
(6)若前述“欲证：至少存在一点”改为存在，且欲证等式中含时，一般情况需用中值定理两次。这时，应将含的项和含的项分写在等式的两端，分别观察等式的各端，以选取辅助函数和，以便用中值定理。
若题设给出函数二阶可导，或欲证等式中含时，有时也需用中值定理两次。特别的，欲证等式时，这可理解对应用罗尔定理。
例1 设函数在上连续，在内可导，且.证明：至少存在一点，使得
.
证明 将欲证等式两端同乘以，得
.
若令，则在上连续，在内可导.且,于是至少存在一点，使得
，
因为＞0，故有
，.
例2 设函数在内满足，证明．
证明 作辅助函数 ，
则在内
由推论1可知，在内有，所以，从而
于是
例3 设在上连续，在内可导，，证明：至少存在一点，使得．
证明 设函数, 显然与均在上连续，在内可导，且
，因此与，在上满足柯西中值定理条件，根据定理，得
,
即至少存在一点，使得
．
例4设函数在上连续，在内可导，且，试证存在，使得
证明 因在上满足拉格朗日定理的条件，故存在，
使得 （1）
令，则和在上满足柯西定理的条件，故存在，使得 （2）
由题设，知，将（1）式代入（2）式，有
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系 . 数学分析 [M]. 北京：高等教育出版社，
2001.
[2] 李林曙 . 经济数学基础微积分 [M]. 北京：高等教育出版社，
2010.
[3] 张煜银.浅谈拉格朗日中值定理在证明等式中的应用 [J].数学学习与研究，2020（3）：5-6.
[4] 吴德宇.微分中值定理在证明等式与不等式中的应用[J].课程教育研究，2016（6）：99-100