摘要：微积分是人类智力的伟大成就之一，是微分学和积分学的合称，本文主要概述了微积分这一重要数学思想的萌芽过程。微积分给数学注入了旺盛的生命力，它不但成为自然科学和工程技术的基础，它的产生也对其他人文学科也有着重要作用。
关键词：微积分 不可分量法 特征三角形
微积分这部交响乐是由全世界各民族的千千万万的数学工作者用自己的辛勤付出和聪明才智谱写而成的，了解人类的这一巨大精神财富的积累过程和历代数学家艰苦卓绝的奋斗精神，对于陶冶数学思想情操，增长与提高数学意识与思维能力，形成自己的数学世界观都具有重要的意义。
在古典意义下，微积分是微分学和积分学的合称。人们常说“牛顿和莱布尼茨发明了微积分”，其实这样概括人类思维的这一伟大成果的产生太简单了。事实上，微积分的一些基本问题的提出和解决，其根源可追溯到古希腊时代，由于16世纪至17世纪初微积分的先驱工作，才使牛顿、莱布尼茨于17世纪后期发明了微积分，并在18世纪里获得了蓬勃发展，因此有必要对微积分发展的前期工作进行探索。
一、微积分的萌芽
（一）公元前的东西方
1.古代中国
战国时代的《庄子·天下篇》中，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”潜含无限思想，“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”这是惠施（约公元前370～公元前310）的一句话，提出了无穷大与无穷小。
此外当时的重要著作《墨经》中不仅对有穷与无穷作了明确的区分，而且也有丰富的微分思想。
2.古希腊罗马
公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布赖森分别用圆的内接正多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆的面积，他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时它的内接和外切正多边形的面积的平均值。这可能是西方应用极限计算圆面积的最早设想，对这一思想做出重大发展的是欧多克索斯（Eudoxus 公元前408～公元前355），相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方法被欧几里得记述在《几何原本》中，继欧多克索斯、欧几里得之后，阿基米得（公元前287～公元前212）对穷竭法做出了重要贡献，这位“数学之神”证明了，还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等。
（二）15世纪以前的东西方
我国三国时期（公元后3世纪）的数学家刘徽在《九章算术》的注文中，第一次把《庄子》中的极限思想用于算“圆田”和“弧田”的面积，创立了一种推求圆周率的方法，即“割圆术”。刘徽先生在圆内作内接正6边形S6,S6的面积不难求出。
在继续算出正12边形、正24边形，……。他指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了π=3.14=157/50（徽率）
古印度的数学家，对圆却采用了类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。
二、微积分的先驱工作
（一）圆的面积、体积的探寻
1．开普勒求面积的新方法
到了17世纪，德国天文学家开普勒在1615年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书，书中介绍了一种他独创的求面积的新方法：把圆分割成许多小扇形，不同的是他一开始就把圆分成无穷多个小扇形，因为太小了，所以小扇形又可用小等腰三角形来代替。
2. 卡瓦列里的“不可分量法”
继开普勒之后，意大利物理学家伽利略的学生卡瓦列里深入研究了上述求面积方法，认为这每一小扇形的面积到底等不等于零，就不好确定了。经过反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法“不可分量法”，并于1635年在意大利出版了《不可分量几何学》一书。卡瓦列里认为平面图形的大小是用一系列平行线在图形上画了无穷多条平行线；而认为立体图形是用一系列平行平面，而这些直线（或平面）便是不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称。
卡瓦列里的不可分量法可以说是微积分的先驱工作，其中“不可分元法”被认为是当时最好的“求积”方法之一。联想定积分、二重积分的定义以及微元法我们都会发现他们有着千丝万缕的联系。
（二）微积分学的先驱工作者
十六七世纪的自然科学提出了大量的数学问题，微分学主要与以下两个问题相关联：求曲线在任一点的切线和求变量的极值。
1.笛卡儿的工作
初期微积分的准备阶段工作，主要采用几何并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况。解析几何的两位创始人笛卡儿和费马都是将坐标方法引进微分学问题的前锋，笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。
笛卡儿作为一个哲学家，他是把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究的；作为数学家，他注意到数学的力量，就是要去寻找数学的用途。他能将几何学和代数学中一切好的东西，互相取长补短，他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生尽可能地把所有的事物都来怀疑一次”也正是他这样，才为他自己的科学发展开辟了一条崭新的道路。
2.费马的工作
笛卡尔方法有一定的局限性，不能用到一般的情形，也没有包含可能产生微分学的方法。属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的，费马利用一个函数的增量通常在函数的极大值或极小值处变得无限地小这一事实找到了求极大值和极小值的方法。
费马在手稿中提出了求极大值和极小值的代数方法如下：设函数在点处取得极值，并设是一个很小的量，那么的值几乎等于的值。即使与“逼近”，也即～，消去公共项后，用除两边，再令消失，即
，由此方程求得的就是的极值点。
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号代替了增量且该方法等价于先求，再令解之即为极值点。
费马的方法逻辑上不完整，此外，还有另外两个问题：一个是费马的方法对极大值与极小值未加区别；一个是他不知道的导数为0只是极值的必要条件而非充分条件。
3.巴罗的工作
伊萨克·巴罗，也是微积分发展史上的重要人物之一，他最重要的科学著作是1669年出版的《光学讲义》和《几何讲义》，后者包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”同现在的求导数过程已十分相近，他已察觉到切线问题与求积问题的互逆关系，但执着于几何思维妨碍他进一步逼近微积分的基本定理。
巴罗求曲线的切线的方法与笛卡儿、费马不同，巴罗使用了几何法。巴罗几何法的关键概念后来变得很有名，就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。
4. 瓦里士的工作
瓦里士是英国最富独创性的数学家之一，在微积分的先驱者中，瓦里士的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分。他的著作《圆锥曲线论》与《无穷小算术》都是很著名的，他第一次用符号∞表示无穷大，用1/∞表示无穷小或零量，并把它们与有限数同样看待，一起参加运算，他还引入了“变量极限--- 这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量。”瓦里士利用他的算术不可分量方法获得了许多重要结果，其中之一就是将卡瓦列里的幂函数积分公式，推广到分数幂情形。。瓦里士另一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到的无穷乘积表达式。他计算由坐标轴，点的纵坐标和函数，，，的曲线围成的面积，得到的结果分别为，但表示圆的函数是，瓦里士利用复杂的插值法算出了它的面积，并进而得到表达式：
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瓦里士的工作直接引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理，二项式定理作为有力的代数工具在微分的创立中发挥了重要的作用。
经过薄暮、黑夜、黎明，这一神秘的时代以笛卡儿、费马、巴罗、瓦里士等科学家的成就为标志而结束，这时微积分的诞生已经到了水到渠成的阶段，为后续微积分的诞生奠定了基础。